Mathématiques Révisions

Info-Spé 09/10

Epita

Feuille d’exercices n°1
Révisions
(du lundi 28 septembre 2009 au vendredi 2 octobre 2009)

Exercice 1
Rappeler les développements limités au voisinage de 0 à l’ordre 6 des fonctions suivantes : 1. f (x) = ex 2. g(x) = ln(1 + x) 3. h(x) = (1 + x)α où α ∈ R∗ 4. i(x) = sin(x) 5. j(x) = cos(x)

Exercice 2
Déterminer, au voisinage de 0, les développements limités des fonctions suivantes : 1. f (x) = cos(x)ex à l’ordre 4 2. g(x) = 1 − ex à l’ordre 3 1−x

3. h(x) = ln 1 + cos(x) à l’ordre 4 4. i(x) = esin(x) à l’ordre 3 5. j(x) = ecos(x) à l’ordre 4 6. k(x) = ln(1 + x)
2

à l’ordre 4

1

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Exercice 3
Déterminer les limites suivantes : 1. x→+∞ lim

1+

1 x
1

x

(1 + x) x − e 2. lim x→0 x 1 x 1 x x2 3.

x→+∞

lim

cos

4.

x→+∞

lim x3 sin

− x2

5. lim

ex − cos(x) − x x→0 x − ln(1 + x) ex − e−x ln(1 + x) ln 1 + sin(x) − sin ln(1 + x) x2 sin(x2 )

6. lim

x→0

7. lim

x→0

Exercice 4
Dans tout l’exercice, (un ) est une suite réelle et a ∈ R. 1. Montrer que si n→+∞ lim un = a

alors n→+∞ lim

u1 + u2 + · · · + un =a n

2. Montrer que si n→+∞ lim (un − un−1 ) = a lim un n =a

alors n→+∞ 3. Supposons un > 0. Montrer que si n→+∞ lim

un+1 =a un √ n un = a

alors n→+∞ lim

2

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Exercice 5
Soient a ∈ R ∪ {+∞}, f et g deux fonctions définies sur R à valeurs réelles. On note ef l’application x → ef (x) et ln(f ) l’application x → ln f (x) . 1. Montrer que : f ∼g a ef ∼ eg a a

2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur f et g pour que ef ∼ eg 3. On suppose f et g stritement positives. Montrer que : f ∼g a ln(f ) ∼ ln(g) a a

4. On suppose f et g strictement positives telles que f ∼ g. On suppose de plus que g admet en a une du cas l ∈ R+ − {1}. ∗ a limite l dans R+ − {1} ∪ {+∞}. Montrer qu’alors