SUJET I
EXERCICE 1
Le taux de natalité d’une localité est analysé par le rapport ci-dessous
{█(N_0=1@N_(n+1)= 2^(n+1) )┤ (n∈N)
En n années de vie. Avec combien de personne cette localité a débuté ? Quel est le nombre de personnes dans cette localité dans 1 an, dans 3 ans ? Avec quelle progression exprimons-nous ce taux ? En déduire sa raison. Calculer le nombre total de personnes dans cette localité dan 20 ans. En combien d’années le nombre de populations de cette localité atteindra 20 000 habitants ?
EXERCICE 2
1-) On considère la fonction f définie par : f(x)=(x^2-3x+1)/((x-2)〖(x+3)〗^2 ) (x≠2 et x≠-3) Déterminer les réels a et b pour lesquels : f(x)=a/((x-2))+b/〖(x+3)〗^2 Calculer : ∫_4^5▒f(x)dx
2-) Résoudre l’équation différentielle ci-dessous : (E) : y ’’+2y’-3 = 0
PROBLEME
I- La fonction f définie par : f(x)=〖2x℮〗^x ; x∈├]0 ; 5 ]
Est l’évaluation d’une dette contractée au près d’une institution financière internationale en des milliers de dollars U S. Calculer puis interpréter : lim┬(x→0)⁡〖f(x) et lim┬(x⟶5)⁡〖f(x)〗 〗 Calculer puis étudier les signes de f’(x) Montrer que f admet une bijection sur ├]0 ;5] que l’on précisera Etablir le tableau de variation de f puis en déduire le sen de la dette contractée Tracer, dans le plant muni du repère (O, I, J), la courbe de f. Unité graphique : 2 cm pour une année et 1 cm pour 150 000$.
II- La fonction g définie par : g(x)=8℮^x ; x∈├]0 ;5].
Valorise les potentialités de remboursement de la dette contractée. Etudier les variations de g Résoudre et interpréter l’équation f(x)=g(x) Trouver une conclusion de lim┬(x⟶5)⁡〖g(x)〗 Représenter dans le même plant que (cf), la courbe de g Déterminer graphiquement la solution de l’équation f(x)=g(x)
III- On donne la fonction h tel que h(x)=2℮^x (x-4) ; x∈├]0 ;5] Etudier la fonction h La fonction h admet deux bijections sut ├]0 ;5] ; préciser les et donner leurs sens sur la dette contractée