Sujet bac s 2010 maths spé.: pondichéry
3352 mots
14 pages
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 21 avril 2010E XERCICE 1 Commun à tous les candidats Partie A : Restitution organisée de connaissances f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] donc g − f est continue sur [a ; b] Pour tout x de [a ; b], f (x) g (x) donc g (x) − f (x) 0 b 6 points
donc b a b a a
[g (x) − f (x)] dx b b a
0 b b
[g (x) − f (x)] dx = g (x) dx − a g (x) dx − b f (x) dx et a b a a
[g (x) − f (x)] dx
0 donc
f (x) dx
0 soit a g (x) dx
f (x) dx.
Partie B 1. a. Pour tout x de [0 ; +∞[, f 1 (x) = ln(1 + x). Soit X = 1 + x, lim X = +∞ ; x→+∞ X →+∞
f 1 (x) = ln X or lim ln X = +∞ donc lim f 1 (x) = +∞. x→+∞ b. f 1 est la composée de deux fonctions : x −→ 1+x continue et dérivable sur [0 ; +∞[, à valeurs dans [1 ; +∞[ et x −→ ln x, continue et dérivable sur [1 ; +∞[, donc f 1 est continue et dérivable sur [0 ; +∞[. 1 ′ ′ f 1 (x) = donc pour tout x de [0 ; +∞[, f 1 (x) > 0 donc f 1 est x +1 strictement croissante sur [0 ; +∞[. u ′ (x) = 1 u(x) = x + 1 1 c. Soit : v (x) = ln(1 + x) v ′ (x) = x +1 u et v sont continues et dérivables sur [0 ; +∞[, de même que u ′ et v ′ donc I 1 = [u(x)v (x)]1 − 0
1
u(x)v ′ (x) dx ;
1 0
0
I 1 = [(x + 1) ln(x + 1)]1 − 0 2 ln 2 − 0 − 1 ;
x +1 dx = [(x + 1) ln(x + 1)]1 − 0 x +1 I 1 = 2 ln2 − 1.
1 0
1 dx =
f 1 (0) = 0 et f 1 est strictement croissante sur [0 ; +∞[ donc f 1 est positive sur [0 ; 1]. f 1 est continue sur [0 ; 1] donc I 1 est l’aire (en unité d’aires) du domaine limité par l’axe des abscisses, les droites d’équation x = 0, x = 1 et la courbe représentative de f 1 .
A. P M. E. P . .
Corrigé du Baccalauréat S
2.
a. Pour tout entier naturel non nul n, f n est la composée de deux fonctions continues sur [0 ; +∞[ : Pour tout x de [0 ; 1], 0 x −→ 1 + x n et x −→ ln x donc f n est continue sur [0 ; +∞[. xn 1 donc 1 1 + xn 2.
La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; +∞[ donc ln 1 ln