Sujet Bac 2010 Maths S

Amérique du Nord 2010 : Exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct [pic]d'unité graphique 2 cm.
On réalisera une figure que l'on complétera tout au long de l'exercice.
On considère les points A d'affixe i, B d'affixe [pic]et D d'affixe 1.
On appelle E le point tel que le triangle ADE soit équilatéral direct.
Soit [pic]l'application qui à tout point [pic]d'affixe [pic]associe le point [pic]d'affixe [pic]définie par :
[pic]

1.
Démontrer que le point E a pour affixe [pic].
ADE est équilatéral direct [pic][pic], où [pic]est la rotation de centre A et d'angle [pic].
L'écriture complexe de [pic]est :
[pic]
D'où [pic]
2.
Exprimer sous forme algébrique l'affixe du point D' associé au point D par l'application [pic].
On a :
[pic]
3.
3.a.
Démontrer que, pour tout nombre complexe [pic]différent de [pic].
Pour [pic], on calcule :
[pic]
Si [pic], on peut simplifier par [pic], ce qui donne 1.
3.b.
En déduire que pour tout point [pic]d'affixe [pic]:
[pic]
Pour M, d'affixe [pic], on a : d'une part :
[pic]
d'autre part :
[pic]
4.
4.a.
Démontrer que les points D et E appartiennent au cercle (C) de centre A et de rayon [pic].
On a déjà : [pic], donc D [pic](C).
De plus ADE est équilatéral, donc AE[pic]AD[pic], et E [pic](C).
4.b.
En utilisant les résultats de la question 3. b., placer le point E' associé au point E par l'application [pic]. On laissera apparents les traits de construction.
Le point E' est tel que :
[pic]
Construction de E' • Sur le cercle (C), on construit le point K tel que [pic]. • On construit le point L milieu de [AK] (pour obtenir AL[pic]). • On construit le parallélogramme LABE'.
5.
Quelle est la nature du triangle BD' E' ?
En utilisant 3.b. pour le point D on a :
[pic]
En confrontant à ce que l'on a pour E : • comme AE[pic]AD, on en conclut que BE'[pic]BD'. • On a les égalités modulo [pic]: [pic] Donc le triangle BE'D'