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Suites numeriques Tle S

1820 mots 8 pages
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SUITES NUMERIQUES

I. Le raisonnement par récurrence

1. Pourquoi un tel raisonnement ?

Soitla propriété «est un multiple de»
Comme, alorsest vraie.
De même, doncest vraie et, doncest vraie.
Maisest-elle vraie pour tout entier naturel?
Pour le vérifier, il faudrait procéder à une infinité de vérifications, ce qui est impossible.
Le raisonnement par récurrence permet de conclure en deux étapes.

L'idée du raisonnement par récurrence peut être imagée ainsi :
Si l'on peut se placer sur le barreau d'une échelle, et si l'on peut passer d'un barreau quelconque au suivant, alors on peut gravir tous les barreaux, à partir du barreau initial.

2. Le principe

Propriété 1

Pour montrer qu'une propriétédépendant d'un nombre entier naturelest vraie pour tout entier naturel (entier naturel donné), on procède en trois étapes :
1. Initialisation : on montre que la propriétéest vraie.
2. Hérédité : on suppose que la propriétéest vraie pour un rangquelconque fixé
(hypothèse de récurrence) et on montre que, sous cette hypothèse, la propriétéest vraie.
3. Conclusion : la propriétéétant vraie au ranget étant héréditaire, on aest vraie pour tout entier naturel

Exemple

Revenons à notre exemple du §1.

Initialisation

…

Hérédité

Soitun entier naturel quelconque fixé.
Supposons que la propriétéest vraie , c'est à dire que …
Il existe donc …
On a alors …
Or … c'est à dire que …

Conclusion

…

Remarque 1

Les deux étapes sont indispensables. Une propriété peut être héréditaire sans pour autant être vraie.
Par exemple la propriété«est divisible par» est héréditaire mais elle n'est vraie pour aucun entier

En effet, supposons que «est divisible par» pour un certain entier naturel, c'est à dire qu'il existe … alors … donc …

Or …

3. Applications

Exercice 1

On considère la suitedéfinie paret,
Démontrer que tous les termes de la suitesont strictement positifs.

Exercice 2

Démontrer que,
Exercice 3

Soitla suite définie paret
Démontrer que,

II. Comportement global

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