Pour honorer un contrat s'étalant sur 5 ans, une entreprise a besoin d'utiliser une machine spécifique pendant ces 5 années. Chaque machine a une durée de vie de 2 ans, son coût d'achat est de 15 k€ ; pendant la première année de vie de la machine, le coût de maintenance est de 1 k€ et pendant la seconde année de vie ce coût est doublé. L'entreprise peut choisir de garder la machine 2 ans avant de la changer ou de la garder un an avant d'en changer pour une neuve. Après une année d'utilisation, la machine peut être revendue 4 k€ et si on en rachète une autre, le fabriquant la reprend pour 5 k€. L'entreprise souhaite déterminer une politique d'achat des machines sur les 5 années minimisant le coût total sachant qu'on ne souhaite pas conserver de machine au delà de cette période. Pour cela on définit le graphe G suivant : - Les sommets sont les couples (i,j), i=1,2,3,4,5 et j=0,1 : (i,j) correspond à l’état « en début d’année i on dispose d’une machine ayant déjà fonctionné pendant j années ». On ajoute en outre un sommet Fin qui correspond à la fin de la cinquième année, date à laquelle la machine est soit vendue (si elle n’a qu’un an), soit jetée. - Les arcs sont de type ((i,j) ;(i+1,k)), où i=1,2,3,4 et j et k valent 0 ou 1 et correspondent aux changements d’état possibles entre le début de l’année i et le début de i+1. On ajoute en outre les arcs ((5,0),Fin) et ((5,1),Fin). Question 1 : Justifiez que le sommet (1,1) peut être supprimé et que les arcs de type ((i,1) ;(i+1,1)) n’existent pas. En début d’année 1 on a une machine neuve (condition initiale), donc le sommet (1,1) (correspondant à « en début d’année 1 on a une machine qui a déjà 1 an ») n’existe pas. Si une