Introduction 3
I. Présentation de différentes méthodes de pricing d’une option américaine down and in 3 A. Les arbres binomiaux 3 Présentation de la méthode 3 Ses avantages 3 Ses inconvénients 3 B. La méthode de Black and Scholes 3 Présentation de la méthode 3 Ses avantages 3 Ses inconvénients 3 C. Monte-Carlo 3 Présentation de la méthode 3 Ses avantages 3 Ses inconvénients 3
II. Les méthodes utilisées pour l’évaluation d’une option selon la méthode des différences finies. 3 A. La méthode explicite 3 B. La méthode implicite 3 C. La méthode de Crank-Nicholson 3 D. Algorithme d’accélération de calculs 3
III. Exemple d’implémentation 4 A. Implémentation d’une option européenne par Black and Scholes 4 B. Implémentation d’une option américaine exotique 4 C. Etude des vitesses de convergence et des temps de calcul. 4

Introduction

Présentation de différentes méthodes pour le pricing d’une option américaine down and in

1 Les arbres binomiaux

Cette méthode d’évaluation des options par arbres, introduites en 1979 par Cox, Ross et Rubinstein dans l’article « Option Pricing : A simplified approach » Journal of Financial Economics, 7 octobre 1979, pages 229-264 se base sur les trajectoires suivies par l’actif sous-jacent pendant la durée de vie de l’option pour le pricing de celle-ci.

Présentation de la méthode

Le processus est dit binaire, dans la mesure où deux trajectoires u ( Up ) et d (Down) représentent les valeurs maximales et minimales du sous-jacent en t+1. Ces branches créent des nœuds débouchant sur deux valeurs de l’ASJ à chaque période t. L’intérêt étant de remonter les nœuds un à un, afin de pricer l’option à chaque étape. Pour une option américaine par exemple, l’arbre révèlera à quel instant t il serait efficient d’exercer l’option. Prenons deux exemples pour illustrer la méthode : sur un call et sur un put.
Soit S le prix spot du sous-jacent, r