C ONFIGURATION DE T HALÈS
1. Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle : Théorème de Thalès Soient deux droites (M B ) et (NC ) sécantes en un point A, telles que les droites (M N ) et (BC ) soient parallèles. Alors les rapports suivants sont égaux : AM = AB AN = M N (autrement dit, les longueurs des côtés des triangles AM N et ABC AC BC sont proportionnelles). Ex : ABC est un triangle, M ∈ [AB ], N ∈ [AC ], AM = 5, AN = 6, AB = 8, BC = 4 ; de plus, les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès, AM = AN = M N AB AC BC et donc M N = AM × BC = 5 × 4 = 2, 5 AB 8 et AC = AN × AM = 6 × 5 = 3, 75. AB 8
C
4 cm

N
6 cm

A 5 cm 8 cm

M

B

2. Pour démontrer que deux droites sont parallèles : Réciproque du théorème de Thalès Si les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C d’autre part, sont alignés dans le même ordre, et si les rapports AM et AN sont égaux, alors les droites AB AC (M N ) et (BC ) sont parallèles. Ex : Les points M , A et B d’une part, et les points N , A et C d’autre part, sont alignés dans le même ordre. De plus, AM = 5, AN = 6, AB = 7, 5 et AC = 9. 5 6 On calcule : AM = 7,5 = 2 d’une part, et AN = 9 = 2 AB 3 AC 3 = ; d’après la réd’autre part. On constate que ciproque du théorème de Thalès, les droites (M N ) et (BC ) sont parallèles.
AM AB AN AC

C 5 cm M
6 cm 9 cm

A 7,5 cm B

N

3. Pour démontrer que deux droites ne sont pas parallèles : Contraposée du théorème de Thalès Soient deux droites (M B ) et (NC ) sécantes en un point A. Si les rapports AM et AB AN ne sont pas égaux, alors les droites (M N ) et (BC ) ne sont pas parallèles. AC Ex : ABC est un triangle, M ∈ [AB ], N ∈ [AC ], AM = 5, AN = 6, AB = 8, AC = 9. 6 2 On calcule : AM = 5 d’une part, et AN = 9 = 3 d’autre AB 8 AC part. On constate que AM = AN ; Or, si les droites (M N ) AB AC et (BC ) étaient parallèles, le théorème de Thalès nous dirait que cette égalité est vraie. Comme ce n’est pas le cas, on peut en