EXERCICES RÉDIGÉS SUR LES EXPONENTIELLES ET LES LOGARITHMES

Exercice 1 Courbes de Gauss Soit k Î  * . On définit, sur , la fonction Gk par : + Gk(x) = e - kx 1. Étudier la parité de Gk. 2. Démontrer que Gk est dérivable et calculer sa dérivée. En déduire le tableau de variation de Gk. 3. Calculer G¢¢ et résoudre l'équation G¢¢ (x) = 0. k k 1 4. Tracer les courbes de Gk pour k = , 1 et 2. 2 5. Démontrer que : h  k Û Gh  Gk sur  1 6. Dans cette question k = . Soit a la solution positive de l'équation G¢¢ (x) = 0. k 2 Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de Gk au point d'abscisse a. Tracer T sur le graphique.
2

Exercice 2 Quadrature de l'hyperbole Soit H la courbe représentative de la fonction ¦ définie sur  * par : + 1 x (H est une branche d'hyperbole) x a Pour tout t Î [1, +¥[, on note S(t) l'aire du domaine : 1 } x Il s'agit de l'aire situé entre l'axe des abscisses, l'hyperbole H et les droites d'équations x = 1 et x = t. D(t) = {M(x, y) tels que 1  x  t et 0  y  1. Soit t Î [1, +¥[. Démontrer que pour tout h > 0 : 1 S (t + h) - S (t ) 1   t+h h t 1 S (t + h) - S (t ) 1   t h t+h (On pourra interpréter et encadrer l'aire S(t + h) - S(t) par celle de deux rectangles) 2. En déduire que la fonction S est dérivable au point d'abscisse t. Que vaut S'(t) ? 3. Soit ¦ la fonction définie sur [1, +¥[ par : ¦(t) = S(t) - ln t a. Montrer que ¦ est constante. b. Calculer ¦(1) et en déduire que, pour tout t Î [1, +¥[ : S(t) = ln t

Et pour tout h < 0 (tel que t + h reste strictement positif) :

Exercices sur les exponentielles et les logarithmes

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Exercice 3 Constante d'Euler On appelle "série harmonique" la suite (Hn) définie pour n Î * par : Hn =

åk k =1

n

1

On sait que cette suite diverge (voir le cours sur les suites). 1. a. Tracer dans un repère la courbe de la fonction ln. b. Calculer H1, H2, H3, H4 et H5. Placer les points de coordonnées (n, Hn) (pour n = 1, ..., 5)