DM de maths complémentaires.Les lois géométriques & leur utilité. Définition : Soit une épreuve de Bernoulli (c’est-à-dire qui a deux solutions : le succès S et l’échec S/) ayant p pour paramètre (la probabilité que le succès se réalise) et X une variable aléatoire désignant le nombre d’essai de l’épreuve avant d’obtenir le succès. X adopte alors des valeurs non-nulles puisque le succès ne peut pas arriver si l’épreuve n’est pas réalisée(X=0) ; …afficher plus de contenu…

Le but est d’obtenir un 3. On appelle X la variable aléatoire désignant le nombre de lancers nécessaires avant d’obtenir un 3. Dans ce cas, X suit la loi géométrique de paramètre 1/6.PropriétéSoit la variable aléatoire X qui suit la loi géométrique de paramètre p. Ainsi, pour tout entier naturel k non nul, on a P(X = k) = (1 – p)k – 1 × p.En effet, P(X = k) est la probabilité que le premier succès survienne à la répétition n° k de l’épreuve, c’est-à-dire que les (k – 1)ième premières répétitions soient un échec. Dans un schéma de Bernoulli, un seul chemin permet d’obtenir k – 1 échecs d’abord puis un succès ensuite, et la probabilité de ce chemin vaut (1 – p)k – 1 × p.Remarque :Cette loi est dite « géométrique » car pour trouver la probabilité de succès au bout de K victoire il faut multiplier la probabilité de succès X par le paramètre, qui ici fait office de …afficher plus de contenu…

Son espérance E ( X ) est égale à . La figure ci-dessus représente graphiquement une loi géométrique de paramètre 0,2.Propriété Soit une variable aléatoire X, on considère qu’elle suit une loi géométrique, on dit alors qu’elle est sans mémoire.
Autrement dit, pour deux entiers m et n non nuls : PX > n(X > m + n) = P(X > m). Sachant que les n premiers essais furent un échec, la probabilité que les m prochains essais soient sans succès est égale à la probabilité que les m premiers essais soient un échec. Pour tout entier n non nul