Équations et inéquations du second degré
Beaucoup d'équations du second degré se résolvent facilement, il suffit de les présenter sous forme d'un produit de facteurs égal à 0. L'application de la règle : « un produit de facteurs est nul lorsque l'un de ses facteurs est nul » permet de connaître les solutions.
Mais comment peut-on savoir qu'une équation n'a pas de solution et n'est donc pas factorisable ? Et si des solutions existent, comment peut-on les déterminer sans factorisation ? Des formules permettent de répondre à ces questions. Il faut bien les connaître pour pouvoir les appliquer sans faire d'erreur de calcul.
Il ne faut pas oublier également qu'une fonction polynôme du second degré se représente toujours par une parabole. De la position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, on peut déduire si la fonction s'annule et quels sont les intervalles où son signe est constant.
1. Comment détermine-t-on le nombre de solutions d'une équation du second degré ?
• Pour résoudre une équation du second degré, on transpose tous les termes dans un seul membre pour obtenir une écriture de la forme : ax^2 + bx + c = 0.
On calcule alors le discriminant Δ (delta) : \Delta = b^2 - 4ac.
Trois cas peuvent se produire :

si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution ; si Δ = 0, l'équation a une solution ; si Δ > 0, l'équation a deux solutions.

Exercice n°1
2. Comment calcule-t-on les solutions d'une équation du second degré lorsqu'elles existent ?
• Si l'on sait factoriser le membre de gauche de l'équation, on cherche les valeurs qui annulent chacun des facteurs.
• Si l'on ne sait pas factoriser, les solutions sont données par les formules suivantes : x_1 = \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} ; x_2 = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}.
La forme factorisée de l'équation ax^2 + bx + c = 0 s'écrit alors a\left( {x - x_{1} } \right)\left( {x - x_2 } \right) = 0.
Remarque
Si \Delta = 0, la solution unique est : x_1 = \frac{{ -