Le nombre π

1- Historique

C’est depuis l’antiquité que l’on connait l’existence du chiffre π, évidemment, pas au sens où on l’entend maintenant (soit une constante mathématiques) mais comme rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et surtout en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l’aire d’un disque).
Vers 2000 av. JC, les Babyloniens connaissaient π comme le rapport constant entre la circonférence d’une cercle et son diamètre, mais pas comme objet mathématique. Ils avaient comme valeur 3 + 7/60 + 30/3600 (car ils comptaient en base 60) soit π=3,125.
Vers 1650 av. JC, les Egyptiens avaient trouvé comme valeur (16/9)² ce qui vaut environ 3,16.
Il vient ensuite le développement des techniques de calculs grâce à l’analyse que l’on connait maintenant (dérivée, sommes de séries, intégrales …). Newton arriva à trouver 16 décimales de π en 1665, puis Machin en trouva 100 en 1706. Au niveau contemporain, les frères Chudnovsky trouvèrent 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Taura en trouvaient 206 milliards en 1999 (en environ 33 heures de calculs).

2- Que signifie le nombre π, quel est sa nature ?

En principe, on connait tous la formule qui donne le périmètre d’un cercle à partir de son rayon (ou de son diamètre) et du nombre π (Périmètre du cercle = 2 * π * rayon). On a donc π = P / (2r). Mais on peut aussi définir π à partir de l’aire d’un disque, et on a π = Aire du disque/r². Pour les mathématiciens le nombre π ne se définit pas de la même manière. Dans le livre d’analyse (Analyse, J.-M. Arnaudières et H. Fraysse, Edition Dunod, 1988, page 217) on appelle pi et on note π le double de l’unique racine de l’équation cos(x) = 0, compris entre 0 et 2. Ce qui est équivalent à : π est le plus petit nombre réel x > 0 tel que cos(x) = -1.

Π est un nombre irrationnel, c'est-à-dire que l’on ne peut pas l’écrire sous la forme de fraction de deux entiers. On ne peut pas deviner une décimale sans la calculer