ACP

L'objectif de l'Analyse en Composantes Principales est de revenir à un espace de dimension réduite en déformant le moins possible la réalité. Il s'agit donc d'obtenir le résumé le plus pertinent possible des données initiales.

On sait comment analyser séparément chacune de ces 4 variables, soit en faisant un graphique, soit en calculant des résumés numériques. Nous savons également qu'on peut regarder les liaisons entre 2 variables (par exemple mathématiques et français), soit en faisant un graphique du type nuage de points, soit en calculant leur coefficient de corrélation linéaire, voire en réalisant la régression de l'une sur l'autre (pour tout cela, se reporter au cours SDE).
Mais, comment faire une étude simultanée des 4 variables ?

Avant d'analyser les résultats proprement dits d'une A.C.P., il est bon d'en regarder les résultats préliminaires. Tout d'abord, pour chaque variable considérée, son minimum, son maximum, sa moyenne et son écart-type. Cela permet d'avoir une première connaissance des données étudiées et, le cas échéant, de décider si l'A.C.P. doit être réduite on non.
Il est également intéressant d'étudier la matrice des corrélations entre variables initiales, dans la mesure où elle permet d'avoir une première idée de la structure de corrélation entre ces variables.
Ensuite, le premier tableau de résultats à regarder est le tableau des pourcentages d'inertie correspondants aux différentes valeurs propres, contenant aussi les pourcentages cumulés associés :
Ce tableau va permettre de choisir la dimension q retenue pour interpréter l'A.C.P.

Le tableau des corrélations variables-facteurs Graphique des variables
Graphique des individus

Le nuage initial, situé dans un espace de dimension p (puisqu'on dispose, au départ, de p variables quantitatives), sera résumé (réduit, projeté) en dimension q

Les q facteurs que l'on va définir, pour résumer l'information contenue dans le tableau initial, doivent maximiser la dispersion