[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014

Partie entière

Exercice 8
Démontrer

[ 02101 ]

[ 02102 ]

[ 03416 ]

[correction]
√

n+

√

n+1 =

√

4n + 2

en notant [x] la partie entière d’un réel x.

[correction]

∀x, y ∈ R, x + y

Exercice 3
Montrer

1

∀n ∈ N ,

Exercice 1 [ 02100 ] [correction]
Montrer que la fonction partie entière est croissante.

Exercice 2
Montrer

Enoncés

x+y

x + y +1

[correction]

∀x, y ∈ R, x + x + y + y

2x + 2y

Exercice 4 [ 02103 ] [correction]
Soient n ∈ N et x ∈ R. Montrer nx n

Exercice 5
Montrer que

[ 02104 ]

= x

[correction] n−1 ∀x ∈ R, ∀n ∈ N ,

x+ k=0 k
= nx n Exercice 6 [ 02105 ] [correction]
Soit a b ∈ R. Etablir
Card([a, b] ∩ Z) = b + 1 − a

Exercice 7 [ 02106 ] [correction]
Soit n ∈ N .
a) Montrer qu’il existe (an , bn ) ∈ N 2 tel que
√
√
(2 + 3)n = an + bn 3 et 3b2 = a2 − 1 n n
√ n
b) Montrer que la partie entière de (2 + 3) est un entier impair.
Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014

Corrections

Corrections

Exercice 4 : [énoncé]
On a nx nx puis

Exercice 1 : [énoncé]
Soit x y ∈ R. x x donc x plus grand entier inférieur à y.
Exercice 2 : [énoncé]
Puisque x x et y

2

y or x ∈ Z donc x

nx n x, or x → x est croissante donc nx n

y car y est le x x donc n x
Par suite

x nx car n x ∈ Z.

nx puis n x

nx n x

y, on a x + y

x+y

puis x x + y

x+y

nx n x =

Par définition, x + y est le plus grand entier inférieur à x + y, on a donc déjà

nx n et finalement

D’autre part x < x + 1 et y < y + 1 donc x+y < x + y +2 puis x+y < x + y +2
Puisque cette inégalité concerne des entiers, on peut transformer cette inégalité stricte en l’inégalité large suivante x+y Exercice 3 : [énoncé]
Si x x < x + 1/2 et y

Exercice 5 : [énoncé]
Posons m = nx et