SUITES NUMERIQUES I. Limite d'une suite définie par son terme général 1. Limite infinie Soit (U n ) la suite définie pour tout entier naturel n , par U n=n2 Le nuage de points représentant les 50 premiers termes de (U n ) , ainsi qu'un tableau de valeurs pour de « très grandes valeurs » de n , sont donnés ici.

n Un

50

500

1000

5000

10000

12000

Il semble que quel que soit l'entier p que l'on choisit,on peut trouver un entier N pour lequel U N >10 p Par exemple, pour avoir U N >10 8 , il suffit de prendre N = Comme, de plus, la fonction carré est croissante sur ℝ+ , pour tout entier n … , on aura aussi U n … On dit que … au-delà duquel tous les termes de la suite sont … Définition 1 Soit (U n ) une suite réelle. On dit que la suite (U n ) a pour limite +∞ quand n tend vers +∞ lorsque, pour tout entier naturel p , on peut trouver … On note alors

Exemple On reprend l'exemple ci-dessus de U n=n2 Pour tout entier naturel p , pour avoir U n>10 p , c'est à dire n 2>10 p , il suffit de prendre … Pour tout entier naturel p , le plus petit entier N … On a ainsi prouvé que … On admet les résultats suivants : Théorème 1 ( limites de référence ) Pour tout entier naturel non nul k , on a:

n →+∞

lim nk =

et

n →+∞

lim

√ n=

Exercice 1 Le nuage de points ci-contre représente les 30 premiers termes de la suite (U n ) définie pour tout entier naturel n par U n=3 n 3+5 n 1) Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite (U n ) ? 2) A l'aide d'un algorithme, déterminer un entier N tel que U N ≥10 6 3) a) Soit f la fonction définie sur ℝ+ par f (x )=3 x 3+5 x Calculer f ' ( x) et en déduire le sens de variation de f sur ℝ+ b) Après avoir remarqué que, pour tout entier naturel n , U n= f ( n) , utiliser le résultat de la question précédente pour prouver que, pour tout entier n≥N , U n≥106 (où N est le nombre trouvé à la question 2) ) Définition 2 Soit (U n ) une suite réelle. On dit que la suite (U n ) a pour limite – ∞ quand n