EXERCICE 1 :
PARTIE A: 1) U est dérivable sur R : Pour tout x : u'x=e-x-xe-x
Donc pour tout réel x : u’(x)+u(x)= e-x . u est donc solution de (E). 2) Les solutions de (E’) sont de la forme : y(x)=Ce-x où C est un réel fixé. 3) V est solution de (E) si et seulement si pour tout réel x v’(x)+v(x)=e-x, ce qui équivaut à :
Pour tout réel x v’(x)+v(x)= u’(x) +u(x), ce qui équivaut à :
Pour tout réel x (v-u)’(x)+(v-u)(x)=0, ce qui équivaut à : v-u est solution de (E’). 4) Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme : v(x)= Ce-x +xe-x . C étant un réel fixé 5) Comme g(0)=2. On en déduit que C=2.
PARTIE B 1) Pour tout réel x : f'kx=(1-x+k)e-x.
Pour tout réel x : e-x>0, donc la fonction : f'kx est du signe de (1-x-k) :
Elle est positive sur ]- ∞;1-k], et négatif sinon. Du lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction, on déduit que la fonction fk admet un maximum pour x=1-k 2) Mk est le point de Ck d’abscisse 1-k donc son ordonnée est fk(1-k)=ek-1=e-(1-k). Il est donc bien sur T. 3)

b) T passe par le point de coordonnées ( 0 :1). On en déduit que l’unité graphique en ordonnée est 2 cm. Commefk0=k, on lit k=2 f2x=0 si et seulement si x=-2, donc la courbe C2 passe par le point de coordonnées (-2 :0). On en déduit que l’unité graphique en abscisse est également 2cm. 4) En dérivant le polynôme et intégrant l’exponentielle, on trouve :
I=-x+2e-x02-02-e-xdx=-4e-2+2+-e-x02=3-5e-x
La fonction fk étant positive sur [0 ;2], on ainsi calculé l’aire (en unités d’aire) délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Ck et les droites d’équations x=0 et x=2.
EXERCICE 2 : 1) Soient (Un) et (Vn) des suites adjacentes, avec (Un) croissante et (Vn) décroissante.
De la propriété 1 : On déduit que (Un) est majorée par V0 et que (Vn) est minorée par U0.
De la propriété 2, on déduit que les suites (Un) et (Vn) convergent respectivement vers des réels U et V. Comme leur différence des deux suites converges