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CPGE Agadir

2002-2003

Devoir Libre N°3
A rendre Jeudi le:28-Novembre-2002 Théme:Suites recurrentes Probléme: soit a n IR IN , on pose b n  a n  2a n1 , n IN 1. Montrer que b n 0 Í a n 0. 2. Montrer que b n convergeÍ a n converge.Preciser la limite de a n en fonction de celle de b n . Dans toute la suite du probléme on pose : u 0  u 1  3 , u n1  1  u n u n1 , 2 3. Quelle est la limite eventuelle de u n . 4. Montrer que n IN on a : 1 u n1 u n 1 3 5. On pose dans cette question a 0  u 0 , a n  u n u n 1 , n IN , b n  a n  2a n1 , n IN a. Montrer que b n converge ,calculer sa limite , en deduire celle de a n b. Montrer que u n1  u n . c. Donner un equivalent simple de k1 n n

b k , en deduire que : u n 

2n 3

.

On admet dans la suite que : k1 1 k

 ln n . IN, b n  a n  2a n1 , n IN

6. On pose dans cette question a n  u n 2n , n 3 a. Donner un equivalent simple de b n b. Determiner lim a n1 a n puis lim a n .
Ý Ý

c. Donner un equivalent simple de a n Exercice :DS 2000-2001 On pose : u 0  u 1  1, u n2  u n1  u n , n 1. Montrer que : n IN, u n 1. 2. On pose :v n  1 u n 1, n IN 2 n v a. Montrer que v n2  2v2v n1 n2

IN

|v n ||v n1 | b. En deduire que : |v n2 | , n IN 3 x n x n1 3. On pose x 0  |v 0 |, x 1  |v 1 |, x n2  , n IN. 3 n a. Montrer que: |v n | x n 0, 8 , n IN. b. En deduire:lim x n . Ý