Corrigé exercices page 35-36-37
40. Par énoncé, dans IN :

m = bq + r avec 0  r < b m+5 = b(q+3) + r – 1 avec 0  r – 1 < b soit 1  r  b+1 mais r<b donc 1  r < 2 soit r=1.
Alors en soustrayant les deux lignes : 5 = 3b – 1 soit b=2 d’où m = 2q + r .
De plus r=1 donc m est du type 2q+1 où q  IN. A priori, m est impaire.
Réciproque : si m impaire, m=2q+1 et m+5 = 2q+6 = 2(q+3), le reste a diminué de 1 et le quotient a augmenté de 3, cela concorde.
Conclusion: m est un nombre impair quelconque.

41. Il est évident qu’il doit d’abord donner le plus de billets de 50 possibles.
1. 730=5014+30 or 30=20+10 d’où 14 billets de 50, 1 de 20 puis 1 de 10: 16 billets.
2. On fait des divisions euclidiennes successives des sommes restantes en partant de S, puis on additionne les quotients résultants.
3. Floor sur algobox signie « partie entière » donc floor(S/50) est le quotient de S par 50.
Avec algobox, par exemple:

44. Il s’agit essentiellement de vérifier que le reste est inférieur au diviseur.

a. D’une part, si on développe, l’égalité est vraie mais c’est une div. E. si 0  r < q.
0  3 et 3 < 2n+1  2< 2n  n>0. Donc c’est bon si n  1.
b. D’une part, si on développe, l’égalité est vraie. Mais 4 < n – 4  n > 8.
Donc c’est bon si n  9.
c. D’une part, si on développe, l’égalité est vraie. Mais 1  3n² + 2n à partir de n=1.

DM 46 page 37 : n

n² – 1