Domaine : Combinatoire
Niveau : Débutants
Contenu : Cours et exercices

Auteur : Guillaume Conchon-Kerjan
Stage : Montpellier 2014

Graphes

Introduction

Le petit cours donné ici peut être fructueusement approfondi en lisant le polycopié de Pierre BORNSZTEIN, "Cours - Théorie des graphes" (2003), tant pour les détails des preuves que la profusion d’exemples et exercices.
Qu’est-ce qu’un graphe ? Tout simplement la donnée de sommets, qui sont reliés entre eux par des arêtes (pas forcément droites). On peut l’écrire plus formellement comme ça :
Définition 1. Un graphe G est un couple (S(G), A(G)), où les x ∈ S(G) sont les sommets du graphe, et les éléments de A(G), de la forme (x, y) avec x, y ∈ S(G), en sont les arêtes.
Plus concrètement, on le représente (de manière non unique) dans le plan par un dessin :
E
•

D
•
•C

•
A

•
B

Exemple 2. Ici, S(G) = {A, B, C, D, E} et A(G) = {(A, B), (A, D), (C, E)}.
On peut imaginer que ce sont des personnes, reliées par une arête si et seulement si elles se connaissent.

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On appelle sous-graphe d’un graphe une partie de celui-ci : on garde certains sommets, et certaines arêtes qui les relient. La seule restriction est qu’on ne peut garder une arête dont au moins une extrémité a été enlevée.
Un chemin est une suite d’arêtes voisines, reliant deux sommets. On parle de cycle lorsque le chemin arrive là ou il est parti. Un graphe est dit connexe lorsqu’il y a toujours un chemin entre deux sommets quelconques de celui-ci.
Remarques 3. • On supposera ici qu’il n’y a qu’un nombre fini de sommets, autrement dit que les graphes sont finis.
• On sous-entendra de plus, sauf mention du contraire, que les arêtes sont nonorientées ((A, B) = (B, A)) et ne sont pas multiples : au plus un trait peut relier deux sommets.
On appelle degré d’un sommet le nombre d’arête qui en sortent. Remarquons que chaque arête contribue pour un pour les degrés de deux sommets. Ce qui permet d’établir le