DNB Blanc de mathématiques (2007)

Activités géométriques
Exercice 1
1. 9x2+ 25 + 30x
On applique l'identité remarquable (a+b)2 = a2+ 2ab+b2
(3x+5)2 = 9x2+ 25 + 30x
2. (x+1)(x-2)
Pour x= 4
(x+1)(x-2) = (4+1)(4-2) 
................. = 5×2
................. = 10
3. 2√3
4. x = -10
5. 48 %

Exercice 2
1. On prend -2
- 2 + 4 = 2
2 x (-2) = -4
- 4 + 4 = 0
Le résultat est 0 2. On prend 5
5 + 4 = 9
9 x 5 = 45
45 + 4 = 49
Le résultat est 49 3. a. On prend 3
3 + 4 = 7
7 x 3 = 21
21 + 4 = 25 = 52
Le résultat est 52 On prend -1
-1 + 4 = 3
3 x -1 = -3
-3 + 4 = 1 = 12
Le résultat est 12 b. Oui, il en est toujours ainsi.
Soit x le nombre choisi au départ.
Le programme de calcul donne
((x+4) × x) + 4 = x2 + 4 x + 4 [ on développe]
....................... = (x+2)2 [ on factorise a2+ 2ab+b2 = (a+b)2 ]
Le résultat est donc toujours un nombre au carré.

4. On souhaite obtenir 1 comme résultat.
Il faut donc que (x+2)2 = 1
Donc (x+2)2 = 12 ou (x+2)2 = - 12
(x+2) = 1 ou (x+2) = -1 x = -1 ou x = - 3
Il faut choisir le nombre -1 ou -3

Activités géométriques
Exercice 1
1. a. Prouvons qu'ABC est un triangle rectangle en B
Le côté le plus grand est AC.
AC2 = 152= 225
AB2+ BC2 = 92 + 122 = 81 + 144 = 225
AC2 = AB2+ BC2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. b.

2. a. Voir shéma
b. Prouvons que (CB) // (FE)
Dans le triangle ABC on a :
E ∈ [AB]
F ∈[AC]
FA/AC = 5/15= 1/3
AE/AB = 3/9 = 1/3
Donc FA/AC = AE/AB
D'après la réciproque du théorème de Thalès, (CB) // (FE)

3. Calcul de l'aire du triangle FEA
Aire du triangle = (base × hauteur) / 2
• Prouvons que le triangle FEA est rectangle en E.
(CB) // (FE)
(CB) ⊥(BA)
Lorsque deux droites sont parallèles, si une autre droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre.
Donc (BA) ⊥ (FE)
(EF) ⊥ (FE)
Donc FEA rectangle en E.
La hauteur relative au côté [EA] est [FE].

• Calcul de FE
E ∈