DM : Arithmétique; similitudes Exercice 1 : Cryptographie le système RSA. Crypter un message signifie le brouiller de manière à le rendre illisible pour tout le monde excepté le destinataire qui possède une clef. Nous allons nous intéresser à l'algorithme de chiffrement connu sous le nom de RSA des noms des ses auteurs : Ron Rivest, Adi Shamir et Léonard Adleman. Le chef du réseau choisit deux nombres premiers p et q puis calcule leur produit n . Il choisit ensuite un entier naturel e tel que PGCD  e ,  p − 1   q − 1  = 1 . Il diffuse la clef publique { n ; e } . La clef privée est un entier naturel d tel que de ≡1 [  p − 1   q −1  ] 1) La clef publique. On choisit p = 53 et q = 79 . • Vérifier que p et q sont premiers. • Calculer n et  p − 1   q − 1  On prend e = 119 • Vérifier que e est conforme à la définition, c'est à dire que e et  p − 1   q − 1  sont bien premiers entre eux. 2) La clef privée. • Démontrer que la recherche de d se ramène à la résolution de 119 d − 4056 k= 1 • Résoudre cette équation dans ℤ . • Vérifier que d = 3647 est une solution. Dans la suite on prend p = 3 , q = 11 , e = 7 , d = 3 et donc n = 33 . 3) Cryptage. Représentons les lettres successives de l'alphabet par les nombres 1,2 ,  , 26 et le "!" par 27. Chaque lettre ou signe est ainsi représenté par un entier x strictement inférieur à n . Le mot FERMAT est représenté par la liste  6,5 ,18 ,13 ,1 ,20  . On crypte x en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de x e par n . • Vérifier que le cryptage du mot FERMAT est  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  • Crypter le mot ARITHMETIQUE. 4) Décryptage. On décrypte y en le remplaçant par le reste de la division euclidienne de y d par n . • Vérifier que le décryptage de  30,14 ,6 ,7 ,1 ,26  est FERMAT • Décrypter le mot  29,6 ,1 ,22 ,27 ,3  5) Comprendre le RSA. 7 Démontrer que si x est un entier naturel non nul inférieur à 33 et si c est le reste de a division de x par 33 alors le reste de la division de c 3 par 33