[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 21 février 2013

Enoncés

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Arithmétique dans Z
Divisibilité
Exercice 1 [ 01187 ] [correction] Résoudre dans Z les équations suivantes : a) x − 1 | x + 3 b) x + 2 | x2 + 2. Exercice 2 [ 01188 ] [correction] Résoudre dans Z2 les équations suivantes : 1 1 a) xy = 3x + 2y b) x + y = 1 c) x2 − y 2 − 4x − 2y = 5. 5 Exercice 3 [ 01189 ] [correction] Soient a ∈ Z et b ∈ N , on note q le quotient de la division euclidienne de a − 1 par b. Déterminer pour tout n ∈ N, le quotient de la division euclidienne de (abn − 1) par bn+1 .

PGCD et PPCM
Exercice 9 [ 01195 ] [correction] Déterminer le pgcd et les coefficients de l’égalité de Bézout (1730-1783) des entiers a et b suivants : a) a = 33 et b = 24 b) a = 37 et b = 27 c) a = 270 et b = 105.

Exercice 10 [ 01196 ] [correction] Soient a, b, d ∈ Z. Montrer l’équivalence : (∃u, v ∈ Z, au + bv = d) ⇔ pgcd(a, b) | d

Exercice 11 [ 01197 ] [correction] Montrer que le pgcd de 2n + 4 et 3n + 3 ne peut être que 1, 2, 3 ou 6.

Calcul en congruence
Exercice 4 [ 01190 ] [correction] Montrer que 11 | 2123 + 3121 . Exercice 5 [ 01191 ] [correction] Quel est le reste de la division euclidienne de 12344321 + 43211234 par 7 ? Exercice 6 [ 01192 ] [correction] Montrer que pour tout n ∈ N : a) 6 | 5n3 + n b) 7 | 32n+1 + 2n+2 c) 5 | 22n+1 + 32n+1 d) 11 | 38n × 54 + 56n × 73 e) 9 | 4n − 1 − 3n f) 152 | 16n − 1 − 15n. Exercice 7 [ 01193 ] [correction] Trouver les entiers n ∈ Z tel que 10 | n2 + (n + 1)2 + (n + 3)2 . Exercice 8 Montrer
[ 01194 ]

Exercice 12 [ 01198 ] [correction] a) Montrer que si r est le reste de la division euclidienne de a ∈ N par b ∈ N alors 2r − 1 est le reste de la division euclidienne de 2a − 1 par 2b − 1. b) Montrer que pgcd(2a − 1, 2b − 1) = 2pgcd(a,b) − 1.

Exercice 13 [ 01199 ] [correction] Soient d, m ∈ N. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le système pgcd(x, y) = d possède un couple (x, y) ∈ N2 solution. ppcm(x, y) = m

Exercice 14 [