Coordonnées dans un repère

3eme

1 Coordonnées d’un point
Définition 1 Deux axes gradués de même origine et perpendiculaires définissent un repère orthogonal.
De plus, si les axes possèdent la même unité de longueur alors le repère est dit orthonormé. axe des ordonn´ees
A

M

yM

Dans l’exemple ci-contre, on dira que les coordonnées du point
M sont (xM , yM ), que celles du point A sont (3; 5) et que celles du point B sont (1; −3).

J xM O

I

B

axe des abscisses

Propriété 1 Dans un repère quelconque, soit A et B deux points de coordonnées respectives (x A ; y A ) et (xB ; yB ).
Alors les coordonnées du point K , milieu du segment [AB] sont xK =

x A + xB
2

yK =

y A + yB
2

Exemple Sur la figure ci-dessus, le milieu K du segment [AB] a pour coordonnées x A + xB
2
3+1 xK =
2
4 xK =
2
xK = 2

xK =

y A + yB
2
5 + (−3) yK =
2
2 yK =
2
yK = 1

yK =

2 Coordonnées d’un vecteur
Propriété 2 Dans un repère quelconque, soit E et F deux points de coordonnées respectives (xE ; yE ) et (xF ; yF ).
−→
Alors les coordonnées du vecteur EF sont
(xF − xE ; yF − yE )

A

Exemples
Sur la figure ci-dessus, on a

E

J

−→
AB(xB − x A ; yB − y A )
−→
AB(−3 − 0 ; −2 − 2)
−→
AB(−3 ; −4)

F

C
O

I
D

−−→
DC (xC − xD ; yC − yD )
−−→
DC (−5 − 4 ; 0 − (−1))
−−→
DC (−9 ; 1)

B

Vérification graphique Le déplacement de A à B correspond graphiquement à un déplacement horizontal de 3 unités dans le sens négatif suivi d’un déplacement vertical de 4 unités dans le sens négatif.
Propriété 3 Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées.

3 Distance dans un repère orthonormé
Propriété 4 Dans un repère orthonormé, soit E et F deux points de coordonnées respectives (xE ; yE ) et (xF ; yF ).
Alors, on a
EF 2 = (xF − xE )2 + (yF − yE )2

et

EF =

(xF − xE )2 + (yF − yE )2

Exemples Sur la figure ci-dessus, le repère est orthonormé : on a donc
C

A

J

O

I

AB 2 =