Lycée La Bruyère Mathématiques
Année 2021-2022 ECG1
Devoir maison 3 - Correction
Le barême prendra significativement en compte :
• la présentation,
• la clarté des explications,
• le soin porté à l’argumentation des réponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Exercice 1. Soit a et b des réels et (un) la suite définie par{ u0 = a
∀n ∈ N, un+1 = u2n + b
Le but de ce problème est d’étudier la nature de la suite (un) en fonction des valeurs de a et b. On définit …afficher plus de contenu…

Or (1− α)2 + b = 1− α. D’où x2 + b ≥ (1− α)
Ainsi fb(x) ≥ 1− α. Donc I est stable par fb.
3. On sait que a ∈ I = [1− α;α], alors puisque I est stable par fb, on a
∀n ∈ N, un ∈ I
Soit n ∈ N un+1 − un = fb(un)− un ≤ 0 car un ∈ I et fb(x)− x ≤ 0 pour tout x ∈ I. Ainsi, la suite (un) est décroissante.
4. La suite (un) est décroissante et minorée par 1− α. Grâce au théorème de conver- gence monotone, on en déduit que (un) converge vers un réel `. De plus , on a
∀n ∈ N, un+1 = u2n + b
En faisant tendre n vers l’infini dans l’égalité précédente, on a
` = `2 + b
On en déduit alors que ` = α ou ` = 1 − α. Or, on sait que (un) est décroissante, donc en particulier
∀n ∈ N, un ≤ u0 = a
Ceci nous amène à considérer deux …afficher plus de contenu…

33. La suite (un) est croissante et majorée par 1−α donc elle converge vers ` ∈ R. On sait (voir partie C) que la limite vaut α ou 1−α. Or, pour tout n, un ≤ 1−α, donc
` ≤ 1− α. Puisque 1− α ≤ α, on a ` = 1− α .
Partie D : Si 0 ≤ b ≤ 1/4 et a ∈]α; +∞[.
1. Montrer que l’intervalle K =]α; +∞[ est stable par fb.
2. Déterminer les variations de (un) en fonction de a.
3. En déduire la nature de (un). Déterminer la limite éventuelle.
Soit x ∈ K. Alors x > α. Donc x2 + b > α2 + b = α. Ainsi, on a fb(x) ∈ K. On en déduit que K est stable par fb.
On sait (partie B) que fb(x) − x > 0 pour tout x ∈ K, on en déduit que la suite est croissante. Supposons par l’absurde que (un) soit majorée. On sait alors que (un) converge vers ` ∈