FONCTIONS POLYNÔMES DU DEUXIÈME DEGRÉ

I – Forme développée
Une fonction polynomiale (ou trinôme) du deuxième degré est une fonction définie sur l’ensemble des réels tels que : f : ℝ ℝ f :  où a, b et c sont des nombres () est la forme développée de f.
Le graphique d’une fonction polynomiale de deuxième degré est une parabole.

II – Forme canonique
Si f est une fonction définie sur ℝ par (avec ), alors f peut aussi se mettre sous la forme : où
On appelle cette forme la forme canonique.

 Démonstration :
On va partir de pour arriver à .
Dans un premier temps, calculons :

 Exemple :
Déterminer la forme canonique de f(x) est de la forme avec La forme canonique de f est avec
Calculons : Calculons :

La forme canonique de f est donc

III – Forme factorisée
On appelle discriminant le nombre (delta) suivant
Propriété : soit f: x  une fonction trinôme du deuxième degré admet une forme factorisée si et seulement si .
Et cette forme factorisée est alors où

 Exemple : f(x) est de la forme avec Calculons le discriminant :

On a donc :

Donc la forme factorisée de f(x) est

Cas particulier: Si alors

IV – Applications

a) Équations de degré deux Toute équation de cette forme peut se mettre sous la forme : On calcule le discriminant de cette équation :  Si , il y a deux solutions :  Si , il n’y a qu’une solution :
 , il n’y a pas de solution.
b) Inéquations de degré deux
Toute inéquation de degré deux peut se mettre sous la forme : ou ou
En fonction de discriminant, on aura des façons différentes de traiter l’inéquation :

alors

Or donc et donc donc donc donc est toujours de signe a.

 où x a signe de a signe de a signe de a 0 signe de a

 x a