PROBABILITÉS CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE

I.

PROBABILITÉS ( RAPPELS) 1. Expériences aléatoires et modèles

Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard. A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. ♦ ♦ ♦ ♦ Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements. Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires. Etant donné un univers Ω, l’événement Ω est l’événement certain. L’ensemble vide est l’événement impossible.

♦ L’événement formé des éventualités communes à A et B est noté A ∩ B . ♦ L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B ou dans les deux est noté A ∪ B . ♦ Etant donné un univers Ω et un événement A, l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A constitue un événement appelé événement contraire de A, noté A . ♦ A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅ . Remarque : Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on choisit un modèle de cette expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité.

Loi des grands nombres (énoncé expérimental) Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des résultats a1, a2, …, an, la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire {ai} se stabilise aux environs d’un nombre pi compris entre 0 et 1. Ce nombre peut être considéré comme la probabilité de réalisation de l’événement {ai}.

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2. Probabilités sur un ensemble fini a) Définition Soit Ω = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. ♦ on définit une loi de probabilité sur Ω si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que, pour tout i, 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de