Exercice1
1. . .AB AC AB AI car I est le projeté orthogonal de C sur  AB .
Or AB et AI sont colinéaires de même sens donc
1
. 18
2
AB AC AB AI AB AI    
On a aussi
3
. 6
6 2
AB AC AB AC cos AC
 
      
 
. Ainsi
2 3AC  .
2. a) Vérifions que C ∊  .
2 2 12 12 24CA CB    C ∊ .
b) M ∊ 
2 2 24MA MB      
2 2
24MI IA MI IA   
2 22 2 24MI IA  
22 24 18 6MI     3MI  . Ainsi  est le cercle de centre …afficher plus de contenu…

. 4 4AK AC AD AK AD AK a DA a     
b)   2. . . . 4AK BC AK BA AC AK BA AK AC a     . 0AK BA  car AK AB .
4. a) Vérifions que C ∊  .
 2 2 2. 4 .AC AB CD a a AB BA   
2 2 25 4a a a   C ∊  .
b) M ∊ 
2 2.AM AB MD a    2 2.AM AB MA AD a   
2 2. .AM AB MA AB AD a    Or AD AB donc . 0AB AD 
2 2.AM AB MA a   ( Se rappeler que
22AM AM le carré scalaire du vecteur AM )
  2AM AM AB a   2.AM BM a    2AM AM AB a   Soit w le milieu de  AB
   2Aw wM Bw wM a       2Aw wM wM Aw a   
2 2 2 2 22wM Aw a wM a     2wM a  .
 est alors le cercle de centre w et de rayon 2a .
Exercice 3
1. figure
2.   2 2 …afficher plus de contenu…

a) OA = OC rayon du cercle (C), donc OAC est un triangle isocèle de sommet principal O.
I étant le milieu de  AC (car    OI AC et I ∊ AC donc  OI bissectrice intérieure de AOC .
Ainsi
2
IOC

 et donc
2 2
OI OI cos OI acos
OC a
    
      
   
.
b)  .OB OC OB OC cos      et comme    cos cos     (N’oublier pas que   0cos  dans notre cas) alors    2.OB OC OB OC cos a cos       .
D’autre part . .OB OC OB OJ OB OJ   donc  2OB OJ a cos   
 
 
2a cos
OJ a cos a 


   
4.     . 0IJ OC IJ OC    . 0IO OJ OC   . . 0OI OC OJ OC  
2 2 0OI OJ  
 2 2 2 2 0
2
a cos a cos


 
    
 
 2 2
2
cos cos


 
  
 
 
2
cos cos


 
   
  en effet ∊] ,
2


[donc
2

∊ ,
4 2
 