Durée : 4 heures

Baccalauréat S Centres étrangers juin 2005

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 0, 3 D1 0, 6 0, 7 R1 R1

3 points

1.

0, 2 0, 7 0, 4 D1 D2 0, 8

R2

R2

D2 En suivant l’arbre de probabilités pondéré ci-dessus, on a p(R1 ) = 0, 6 × 0, 3 = 0, 18. 2. De mêmep(R2 ) = 0, 4 × 0, 7 × 0, 2 = 0, 056. Donc p(R) = 0, 18 + 0, 056 = 0, 236. 0, 18 p(R1 ∩ R) 3. On sait que p R (R1 ) = = ≈ 0,762 6 ≈ 0, 763. p(R) 0, 236 4. On a un schéma de Bernouilli avec p = 0, 236 et n = 5, car 20 % de 25 représentent 5 personnes. Donc la probabilité d’avoir 5 réponsesau questionnaire est : 5 × (0, 236)5 × (1 − 0, 236)20 ≈ 0, 179. 20

0, 3

E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1. M = N ⇐⇒ z = z 2 ⇐⇒ z(1 − z) = 0 ⇐⇒ z z =0 = 1.

3 points

 z = 0  3 2 M = P ⇐⇒ z = z ⇐⇒ z 1 − z = 0 ⇐⇒ z(1 + z)(1 − z) = 0 ⇐⇒ z = −1 .   z =1 2 3 Conclusion si M ∈ E , z, z et z sont des complexes distincts et par conséquent M, N et P aussi. 2. a. M N P est rectangle en P si et seulement si MP 2 + P N 2 = M N 2 ⇐⇒ 2 2 2 2 2 z 3 − z + z 2 − z 3 = z 2 − z ⇐⇒ z(1 − z 2 ) + z 2 (1 − z) = |z(z−1)|2 ⇐⇒ |z|2 1 − z 2 + |z|4 |1 − z|2 = |z|2 |1 − z|2 ⇐⇒ (car z = 0) |1 − z 2 |2 + |z|2 |1 − z|2 = |1 − z|2 ⇐⇒ (car z = 1) |1 + z|2 + |z|2 = 1.
2

Baccalauréat S juin 2005

b. En reprenant l’égalité précédente : |1 + z|2 + |z|2 = 1 ⇐⇒ (1 + z)(1 + z) + zz = 1 ⇐⇒ (1 + z)(1 + z) + zz = 1 ⇐⇒ zz + z + z + 1 + zz = 1 ⇐⇒ 1 1 1 1 1 1 1 = ⇐⇒ 2zz +z +z = 0 ⇐⇒ zz + z + z + − = 0 ⇐⇒ z + z+ 2 2 4 4 2 2 4 1 1 1 = . z+ z+ 2 2 4 1 1 1 1 = c. Soit C le point d’affixe − . La condition précédente z + z+ 2 2 2 4 1 1 1 entraıne que z + = ⇐⇒ CM = . Géométriquement M appartient 2 2 2 1 au cercle de centre C et de rayon , M étant distinct de O et de A (qui 2 sont sur le cercle et de B. 1 Conclusion : l’ensemble C est le cercle de centre C de rayon , privé de 2 O et de A. 3. a. On a M(z) ∈ C et z = r eiα . Alors z 3 > 0 ⇐⇒ r 3 ei3α > 0 ⇐⇒ ei3α > 0 ⇐⇒ cos(3α) 3α cos(3α) α >