BACCALAUREAT GENERAL
Session de juin 2009 MATHEMATIQUES - Série S Enseignement Obligatoire France métropolitaine

EXERCICE 1 1) a) Soit n un entier naturel. vn+1 = un+1 − 6 = 1 1 1 1 un + 4 − 6 = un − 2 = (un − 6) = vn . 3 3 3 3 1 . 3

La suite (vn ) est une suite géométrique de raison

b) On sait alors que pour tout entier naturel n vn = v0 × Or v0 = u0 − 6 = −5 et donc pour tout entier naturel n on a un = vn + 6 = −5 1 3 n 1 3

n

.

+ 6. 1 3 n Pour tout entier naturel n, un = −5 n + 6.

c) Puisque −1 <

1 < 1, on sait que 3

n→ +∞

lim

1 3

= 0. On en déduit que la suite (un ) converge et que lim un = 6. 210 = 21. 10

n→ +∞

2) a) 10w10 = 11w9 + 1 = 11 × 19 + 1 = 210 et donc w10 =

w10 = 21. b) Il semblerait que pour tout entier naturel n, on ait wn = 2n + 1. Prouvons-le par récurrence. • Pour n = 0, on a 2 × 0 + 1 = 1 = w0 . L’égalité est donc vraie quand n = 0. • Soit n 1. Supposons que wn−1 = 2(n − 1) + 1 ou encore wn−1 = 2n − 1. wn = (n + 1)wn−1 + 1 (n + 1)(2n − 1) + 1 2n2 + n = = = 2n + 1. n n n

On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, on ait wn = 2n + 1. En particulier la suite (wn )n∈N est arithmétique de raison 2 et w2009 = 4019. Si on n’aime pas passer de n − 1 à n et que l’on préfère passer de n à n + 1, on doit commencer par se réécrire la relation de récurrence : pour tout entier naturel n 0, (n + 1)wn+1 = (n + 2)wn + 1. La démonstration principale s’écrit alors

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c Jean-Louis Rouget, 2010. Tous droits réservés.

wn+1 =

(n + 2)wn + 1 (n + 2)(2n + 1) + 1 2n2 + 5n + 3 (n + 1)(2n + 3) = = = = 2n + 3 = 2(n + 1) + 1. n+1 n+1 n+1 n+1

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EXERCICE 2 PARTIE I 1) D’après un théorème de croissances comparées, on a lim lim xe−x = lim ex = +∞. On en déduit que x

x→ +∞

x→ +∞

x→ +∞

x 1 = lim = 0. ex x→ +∞ ex /x

Puis lim ln(1 + xe−x ) = ln(1 + 0) = 0. x→ +∞