2 Degré des sommets Exercice 12On s’intéresse aux graphes dont tous les sommets sont de degré trois.
Construisez de tels graphes ayant 4 sommets, 5 , 6 , 7 .Qu’en déduisez-vous ?Prouvez-le ! Exercice 13La situation est-elle identique pour les graphes dont tous les sommets sont de degré 4 ? Exercice 14Une suite décroissante (au sens large) d’entiers est graphique s’il existe un graphe dont les degrés des sommets correspondent à cette suite (par exemple, le triangle à trois sommets correspond à la suite 2,2,2). Les suites suivantes sont-elles graphiques ?
3, 3, 2, 1, 1 3, 3, 2, 2 5, 3, 2, 1, 1, 1
3, 3, 1, 1 4, 2, 1, 1, 1, 1 5, 4, 3, 1, 1, 1, 1
Trouvez deux graphes distincts (c’est-à-dire non isomorphes HYPERLINK "http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/pedalyc/seqdocped/graphes/cahier/notions_base/notions_base_degsom.htm" \l "_ftn1" \o "" [1] ) correspondant à la suite 3, 2, 2, 2, 1. Exercice 15Pour les graphes orientés, il faut considérer des suites de couples d’entiers (le premier élément d’un couple correspond au degré entrant, le second au degré sortant). Les suites suivantes sont-elles des suites graphiques ?
(0,1), (1,1), (1,1), (1,1), (1,0)(1,1), (1,1), (1,1), (1,1), (1,1)(0,2), (1,1), (1,1), (1,1) (0,2), (1,1), (1,1), (2,0)(1,2), (1,2), (2,1), (2,1)(1,2), (1,2), (2,1), (2,2), (1,1) Exercice 16Essayez de construire un graphe non orienté ayant au moins deux sommets et tel que tous les sommets ont des degrés distincts. Qu’en déduisez-vous ? Exercice 17Montrez que dans un groupe de six personnes, il y en a nécessairement trois qui se connaissent mutuellement ou trois qui ne se connaissent pas (on suppose que si A connaît B, B connaît également A).Montrez que cela n’est plus nécessairement vrai dans un groupe de cinq personnes. Exercice 18Montrez que dans un groupe de 9 personnes, 4 se connaissent mutuellement ou 3 ne se connaissent pas.Cela est-il toujours vrai dans un groupe de 8 personnes ? Exercice 19Montrez que dans un