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Fiche Exercices Nº : 32001 MATHEMATIQUES Série S LE TALENT C’EST D’AVOIR ENVIE Fiche 1 : Les suites Méthodes et exercices Etudier la monotonie d’une suite numérique Méthode 1 : Comparer u n +1 − u n à 0. Exercice 1 Etudier la monotonie de la suite définie par u n = n − 2 n pour tout n. Méthode 2 : Lorsque u n +1 = f (n ) pour tout n, f étant une fonction monotone dans un intervalle du type [n 0 , + ∞ [, (u n ) a le même sens de variation que f . Exercice 2 Etudier la monotonie de la suite définie

DM 2 SUR LES SUITES ADJACENTES, VERS LE NOMBRE e TS 1. Factorielle d'un entier naturel. Soit n ∈ . On appelle factorielle de n l'entier noté n! défini par : n! = 1 × 2 × 3 × ... × n si n Par exemple, 3! = 1 × 2 × 3 = 6. Le but de cette première partie est de se familiariser avec les factorielles. (Les quatre questions sont indépendantes) a. Calculer 4!, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! *

Progression suite géométrique On appelle progression géométrique une suite de nombres tel que chacun est égal au précédent multiplié par un même nombre. Par exemple, qu' on multiplie 3 par 2, ce qui donne 6; puis 6 par par 2 ce qui donne 12; puis 12 par 2, ce qui donne 24 etc. La suite 3; 6; 12; 24... est une progression par quotient. Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme par avoir le suivant est la raison de la progression. Cette progression est dite progression par quotient

posons fn (x) = f(x+n) puis fn Soit n ∈ N∗ . Avec les notations de la question 7), pour tout x ∈ [0, 1], = sup{|fn (x)|, x ∈ [0, 1]}. M , nα M (x + n)α |fn (x)| = |f(x + n)| ∞ M M . Puisque la série numérique de terme général α , n ∈ N∗ , converge, la série de fonctions de terme nα n général fn , n ∈ N∗ , converge normalement et en particulier uniformément sur [0, 1]. Puisque chaque fonction fn est et donc fn ∞ +∞ continue sur [0, 1], il en est de même de la

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c) Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation

CCP PSI 1 un corrig´ e 1 1.1 Une ´tude de s´ries. e e Etude de la fonction L. k 1.1 (−1)k−1 x est le terme g´n´ral d’une suite de limite nulle si |x| < 1 et non born´e sinon e e e k (croissances compar´es). Par lemme d’Abel, le rayon de convergence de la s´rie enti`re est ´gal e e e e a ` 1. L est donc d´finie au pire sur ] − 1, 1[ et au mieux sur [−1, 1]. Pour x = 1, il y a convergence e de la s´rie (s´ries de Riemann altern´e ou r`gle sp´ciale, le terme g´n´ral ´tant d´croissant en e e

Définition et convergence Série entière Soit (an ) une suite de nombres complexes. Définition 1.1 — On appelle série entière de la variable complexe z de coefficients (an ) la série (de fonctions) série entière de la variable réelle x de coefficients (an ) la série (de fonctions) an xn . – Remarque – 1. Un polynôme est une série entière dont les coefficients sont nuls à partir d’un certain rang. 2. Les sommes partielles d’une série entière sont des polynômes. 3. La série entière an z n converge au moins

la s´erie en question est donc convergente grˆace au th´eor`eme de comparaison. 10 En utilisant la s´erie g´eom´etrique comme s´erie de comparaison , on obtient les deux crit`eres sur la nature d’une s´erie a` termes positifs. En effet, soit une serie de terme g´en´eral un > 0 au moins a` partir d’un certain rang. On a Crit` ere de Cauchy. Soit N un entier assez grand. Si pour tout n ≥ N ∞ √ n un ≤ a < 1, la s´erie un est convergente n=1 ∞ √ n un ≥ 1, la s´erie un est divergente n=1 √ En

s´erie de Exercice 12 : Se ´rie harmonique alterne ´e (−1)n terme g´en´eral un . On consid`ere la s´ erie harmonique altern´ ee A = . n n≥1 Les classiques 1. Montrez que la s´erie A est convergente. Est-elle absolument convergente ? ´ Exercice 10 : Serie harmonique 2. D´emontrez que 1 On consid`ere la s´erie harmonique S = . On note pour tout n ∈ N Sn la n n n 1 1 (−1)k n≥1 ∀n ∈ N , = − somme partielle de rang n de cette s´erie. k k k k=1 2≤2k≤n k=1 1. Convergence de la s´ erie harmonique n Quelle