Vecteur énergétique

: Hz . . . ). e • – Les vecteurs sont identifi´s par l’identificateur en caract`re gras (e.g. E). e e – Les composantes d’un vecteur sont sp´cifi´es par l’entremise de leur coordonn´e e e e mise en indice inf´rieur (e.g. Ex ou Eθ ). e – Les phaseurs et les quantit´s complexes qui en d´coulent, avec un module et e e une phase, sont plutˆt repr´sent´s par leur identificateur surmont´ d’une barre o e e e ¯ ¯ ¯ (e.g. E, Eθ ou Zi ). – Ainsi, les vecteurs-phaseurs sont identifi´s par

d’endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Polynôme de matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Valeurs propres, vecteurs propres 1 1 1 Proposition 5 : E un K-ev, u ∈ (E) admettant un pomi πu , si F est un sous espace vectoriel de E u-stable, v = u/F, alors π v /πu . 3.1 Valeurs propres, vecteurs propres d’un endomorphisme 3.2 Valeurs propres, vecteurs propres d’une matrice. . . . . 3.3 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Diagonalisation Trigonalisation

torseur est un champ de vecteurs équiprojectif, champ dont les vecteurs [pic]en chaque point P s'appellent « moments » du torseur. De par les propriétés d'un tel champ, les moments en deux points P et O vérifient la relation de Varignon : [pic]. Un moyen mnémotechnique de la retenir est la dénomination "formule de BABAR" : [pic], où le vecteur [pic](associé de façon unique à tout champ équiprojectif), s'appelle résultante du torseur. Un torseur est donc déterminé par deux vecteurs, constituant sa "réduction"

2 − 1)P − 2nXP. Vérifier que f est un endomorphisme de R2n [X] puis déterminer les valeurs et vecteurs propres de f . f est-il diagonalisable ? Correction [005654] Exercice 5 *** Soit E = R3 [X]. Pour P élément de E, soit f (P) le reste de la division euclidienne de AP par B où A = X 4 − 1 et B = X 4 − X. Vérifier que f est un endomorphisme de E puis déterminer Ker f , Im f et les valeurs et vecteurs propres de f . Correction [005655] Exercice 6 *** Soit A une matrice rectangulaire de format

réels appelés coordonnées de M. Selon les besoins, on peut utiliser : ♦ ♦ ♦ les coordonnées cartésiennes (x,y,z) (projections sur Ox, sur Oy, sur Oz) les coordonnées cylindriques (ρ,θ,z) les coordonnées sphériques (r,θ,ϕ) r par son vecteur position r = OM . Ce vecteur peut se décomposer sur différentes bases de projection : r r r r r r r r ♦ sur la base cartésienne ( u x , u y , u z ) : r =x u x + y u y + z u z . Les composantes de r se confondent alors ♦ ♦ (et dans ce cas seulement) avec les coordonnées

Changement de bases 1. Position du problème On considère un espace vectoriel de dimension , dont on connaît une base On considère une famille de vecteurs de cet espace vectoriel On appelle la matrice dont les vecteurs colonnes sont formés par les composantes des vecteurs dans la base Par exemple si l'espace vectoriel est de dimension 3 et que l'on a La matrice sera égale à : Nous avons démontré l'an dernier que cette matrice est inversible si et seulement si la famille est une base de

d’un point En dérivant (par rapport au temps) le vecteur position OM (t) , dans le repère ℜ, nous obtenons :  dOM  V(M∈S/R) =   = OM .ω (t ).t = r .ω (t ).t  dt ℜ T (M ∈ S / R) Remarque : puisque ω(t) a même valeur pour tous les points du solide, la vitesse linéaire V(M∈S/R) varie linéairement avec la distance r à l’axe de rotation. t V ( M ∈ S / R) M n _P V _N V 7.2. Accélération En dérivant (par rapport au temps) le vecteur vitesse O N P θ( t) r=OM x V(M∈S/R)

la chute libre, déterminer les coordonnées ax et az du vecteur accélération du centre d'inertie du projectile dans le repère indiqué. 4. Donner l'expression des coordonnées du vecteur vitesse initiale v0 , notées v0x et v0z , en fonction de v0 et a. 5. On appelle vx(t) la composante horizontale du vecteur vitesse et vz(t) sa composante verticale. Déterminer l'expression des composantes horizontale et verticale vx(t) et vz(t) du vecteur vitesse du système au cours de son mouvement. 6. En

propre associ´e e Ainsi, α = 2 2 au vecteur propre X. Le sous-espace propre associ´ est donc de dimension 1. e L’homoth´tie u0 est diagonalisable. Dans le cas g´n´ral, uλ l’est ´galement e e e e puisque la somme des dimensions des sous-espaces propres est ´gale ` n + 1, e a qui est la dimension de E. Exercice 2.2. Soit E un espace vectoriel r´el de dimension finie n 2 et E1 , E2 deux souse espaces vectoriels de E, suppl´mentaires dans E et non r´duits au vecteur e e nul. Soit u1 ∈ L(E1 ), u2 ∈ L(E2

M dans l'espace dans le but de déterminer les composantes du vecteur position OM et des vecteurs qui pourront être définis à partir de celui là (la vitesse et l’accélération par exemple). On choisit donc un repère d'espace dans lequel on cherche à déterminer les composantes des vecteurs. Ce choix est orienté par la géométrie du problème. I.1.1 Repère cartésien C'est un repère d'espace orthonormé, noté R, d'origine O et de vecteurs de    base ( i , j , k ) . La position du point M est caractérisée