Vecteur énergétique

k0 ⎟ de vecteurs unitaires i0 , j , k 0 ,.les 0 ⎝ ⎠ coordonnées cartésiennes de M point mobile dans R0 sont x(t), y(t),et z(t). On appelle vecteur position de M dans R0 le vecteur OM = x(t ). i0 + y (t ). j0 + z (t ). k 0 . b) −−−−−> −−−−−> → → → Vecteur vitesse de M par rapport à R0 −−−−−> ⎡ d −−−−−> ⎤ OM ⎥ on note V ( M / R0 ) = V ( M / 0 ) = ⎢ ⎢ dt ⎥ ⎣ ⎦ R0 avec O origine du repère R0 .Le vecteur vitesse est tangent en M à la trajectoire. c) −−−−−> Vecteur accélération

variables sur les vecteurs propres (composantes principales) .................................................................................................................................. 6 3.1.6 Qualité de la représentation des observations et des variables .................................................. 7 3.1.7 Contributions des observations et des variables ...................................................................... 7 3.1.8 Règles d'interprétation des vecteurs propres ........

1, 1), on a f(v1 ) = v1 , f(v2 ) = v2 et f(v3 ) = 4v3 . De plus, si 1 1 1 P est la matrice de la famille (v1 , v2 , v3 ) dans la base canonique B0 , det(P) = −1 0 1 = 1 + 2 = 3 = 0. Donc 0 −1 1 B = (v1 , v2 , v3 ) est une base de R3 constituée de vecteurs propres de f. On en déduit que f est diagonalisable. q(v1 ) = 1 j(v1 ) = 0, q(v2 ) = 0 et q(v3 ) = v3 et donc matB (q) = diag(0, 0, 1) puis matB (p) = I3 − matB (q) = diag(1, 1, 0). 3 Si v1 = (1, −1, 0), v2 = (1, 0, −1) et v3 = (1, 1, 1) puis B =

portés par les vecteurs propres de C, la longueur de chacun d’eux indiquée par la valeur propre correspondante. Ainsi, le vecteur propre correspondant à la plus grande valeur propre donne la direction de plus grande dispersion du nuage de points. 90 Chapitre 5 Analyse en composantes principales P1 0.6 0.4 Voie C 0.2 P2 0 -0.2 1 0.5 0 0 -0.5 -0.2 0.2 P3 0.6 0.4 Voie B Voie A Figure 3: La boucle représentée ici est la trace temporelle du vecteur cardiaque pendant

matrice de Mn (C), on pose pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : n ri = j=1 |ai j | et Di = {z ∈ C, |z| ≤ ri }.   x1 x  Pour X =  2  ∈ Mn,1 (C), on note X . xn  ∞ = max |xi |. 1≤i≤n 6.  x1 x  Soit λ ∈ Sp(A) et X =  2  un vecteur propre associ´ ` λ. ea . xn Montrer que pour tout entier 1 ≤ i ≤ n : |λ xi | ≤ ri X ∞ . n 7. 8. D´montrer que Sp(A) ⊂ e k=1 Dk . Soit P = X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0 un polynˆme de C[X], ´tablir que toutes les o e racines de

pratique de matrices Exercice 1 - Diagonalisation - 1 - L1/L2/Math Sp´ e Diagonaliser les matrices suivantes : 0 3 2 0 2 −1     A =  3 −2 0  B =  −2 5 2  . 2 −3 0 −2 2 1 On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique ` la base de vecteurs propres. a     Exercice 2 - Diagonalisation - 2 - L2/Math Sp´ e Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n’est pas diagonalisable : π 1 2   A =  0 π 3 . 0 0 π   Exercice 3 - Avec un param`tre - L2/Math Sp´ e e Soit

Z1 2 ) Var [Z1 1]Var [Z1 2 ] ait une valeur maximale sous la contrainte: Var [Z1 1] = Var [Z1 2 ] = 1: Remarques : * 1. Z1 1 est donc le premier vecteur propre de P1P2 Z1 2 est donc le premier vecteur propre de P2P1,où: * P1 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X1 P2 désigne le projecteur orthogonal sur l'espace engendré par les colonnes de X2. * 2. Z1 1

Partie A Une urne contient n boules blanches (n dans N), 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire simultanément et au hasard deux boules de l'urne. 1. Quelle est la probabilité de tirer 2 boules blanches ? 2. On note p(n) la probabilité de tirer 2 boules de même couleur. a) Montrer que b) Calculer . . Interpréter ce résultat. Partie B Pour les questions suivantes n = 4. 1. Calculer p(4) . 2. Un tirage consiste à tirer simultanément et au hasard 2 boules de l'urne. Un joueur effectue 2 tirages

ligne), la matrice se r´duit e a ` un vecteur ligne de dimension n que l’on note (la signification de l’“exposant T” est r´v´l´e e ee ci-dessous) : AT = a1 a2 ... an Une matrice rectangulaire est verticale si m > n· Exemple de matrice verticale :   2 4  3 5     4 5     2 3  4 0 Cas particuliers de la matrice verticale : lorsque n = 1 (une seule colonne), la matrice se r´duit e a ` un vecteur colonne et le second indice n’est plus n´cessaire. Le vecteur (dit alors “de dimension e m”) s’´crit

les βj sont des entiers naturels non nuls. Une telle décomposition peut être obtenue en commençant par décomposer sur C puis en regroupant les facteurs conjugués. 2 2.1 Réduction des endomorphismes et des matrices carrées. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres Valeur propre. f ∈ L(E) et λ ∈ K, E de dimension quelconque. → → − → → λ est valeur propre de f si et seulement si il existe − = 0 tel que f(− ) = λ− x x x si et seulement si f − λIdE n’est pas injectif → − si et