Théorèmes d'incomplétude de Gödel

examinant et clarifiant le langage dont on se sert pour les formuler. Cette méthode compte parmi ses apports majeurs la logique moderne, la mise au jour du problème du sens et de la dénotation dans la construction de la signification, le théorème d'incomplétude de Kurt Gödel, la théorie des descriptions définies de Russell, la théorie de la réfutabilité de Karl Popper, la théorie sémantique de la vérité de Alfred Tarski. Les deux branches principales de la tradition analytique sont, d'une part, la recherche

aux travaux du logicien Kurt Gödel, qui le menèrent dans les années trente à la formulation de son célèbre théorème d'incomplétude ou d'« indécidabilité». Ce théorème établit que tout système formalisé complexe comporte une proposition qui n'est pas décidable et qui rend donc le système entier indécidable. Plus précisément, il est impossible de prendre un nombre fini d'axiomes de telle sorte que toute question soit décidable. Si on généralise le sens de ce théorèmes on découvre que ce qui apparaissait

entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires Chapitre 03 – Dérivation Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus Chapitre 05 – Fonction exponentielle Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien Chapitre 07 – Intégration p. 6 p. 12 p. 16 p. 20 p. 24 p. 28 p. 32 GÉOMÉTRIE

aux travaux du logicien Kurt Gödel, qui le menèrent dans les années trente à la formulation de son célèbre théorème d'incomplétude ou d'« indécidabilité». Ce théorème établit que tout système formalisé complexe comporte une proposition qui n'est pas décidable et qui rend donc le système entier indécidable. Plus précisément, il est impossible de prendre un nombre fini d'axiomes de telle sorte que toute question soit décidable. Si on généralise le sens de ce théorèmes on découvre que ce qui apparaissait

mathématiques liés à l’infini 40 Notions de physique 41 Quelques vérités scientifiques étonnantes 41 L’espace et le temps 42 Autres théories fondamentales 42 Illusions d’optiques 43 La relativité d’Einstein 43 Le théorème de l’addition des vitesses 43 La constance de la vitesse de la lumière 43 Contradiction entre ces deux principes 44 La solution 44 La simultanéité (donc le temps) est relative à un référentiel 44 L’espace aussi est relatif

du Livre du philosophe) b) N’y at-t-il pas quelque chose qui échappe à tout effort pour clarifier davantage ? Il y a déjà les axiomes : les indémontrables qu’il nous faut bien déjà poser pour parvenir à faire nos démonstrations : on obtient des théorèmes mais c’est toujours en ayant posé des éléments 1ers. Pourrait-on dire qu’il n’y a que le démontré qui importe puisqu’il faut poser des indémontrés ? Si tout n’est pas démontré, tout n’est pas réductible au calcul, et par suite il faut convenir que

supposés vrais. S’ils sont faux, toute la théorie s’écroule. De plus, une théorie ne rend pas forcément compte de toutes les vérités. Et les mathématiques, source de vérité immuable pour Descartes, n’échappent pas à cette réalité. Ainsi le théorème d’incomplétude de Gödel stipule que dans toute axiomatique raisonnable qui ne contient que les nombres naturels, il existe des propositions qui ne peuvent être démontrées alors qu’elles sont vraies. Prenons l’exemple de l’axiome du choix, indémontrable dans

mathématiques qui y sont présentées sont essentiellement géométriques et sans démonstration. On ignore s'il s'agit de la seule activité mathématique de cette époque ou seulement les traces d'une activité plus générale. Les Indiens connaissaient le théorème de Pythagore, savaient construire de manière exacte la quadrature d'un rectangle (construction d'un carré de même aire) et de manière approchée celle du cercle. On voit apparaître aussi des approximations fractionnaires de π et de racine carrée de

sciences et contribuer aux progrès de schématisation (réduction) de la diversité du monde à la combinatoire d'éléments simples, plus faciles à appréhender par les systèmes informatiques. On peut citer parmi les travaux importants le théorème d'incomplétude de Kurt Gödel 42(1931) et les travaux sur la Machine de Turing d'Alan Turing (1936). La physiologie lui a également apporté de nombreux éléments, notamment le principe d'homéostasie mis en place par Walter                                                         

E/R. Curiosités – – – – – – La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel-Skolem avec l’axiome du choix (ZFC). Les axiomes de Peano. Indécidabilité et théorèmes d’incomplétude de Gödel. Le théorème de Cantor : il n’existe pas de surjection de E sur P(E). Le lemme de Kuratowski-Zorn : tout ensemble inductif admet au moins un élément maximal. Le théorème de Zermelo : tout ensemble peut être muni d’une structure de bon ordre. TrigoFACILE — http://www.trigofacile.com/ 3 A.2 Ensembles finis, monoïdes