Théorème de Ménélaüs

Courbe (c) 3-35 : Lignes de niveau 1 (c) 3-36 : Lignes de niveau 2 (c) 3-37 : Lignes de niveau 3 (c) 3-38 : Fonction scalaire de Leibniz 3-39 : Distance d’un point à une droite (c) 3-40 : Distance d’un point à une droite 2 4. Droites 4-41 : Menelaüs 4-42 : Médianes orthogonales 4-43 : Droite d’Euler (c) 4-44 : Droite d’Euler - 2 (c) 4-45 : Angles et droites (c) 4-46 : Cercle inscrit, cercle circonscrit 4-47 : Puissance d’un point - Géométrique 4-48 : Puissance d’un point - analytique

pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Pour résoudre une

pour la résolution des exercices • Résolution des équations et inéquations du premier et du second degré dans R • Raisonnement par récurrence • Définition de la fonction partie entière • Notions de borne supérieure et borne inférieure dans R et le théorème : toute partie non vide et majorée de R admet une borne supérieure dans R. Les méthodes à retenir • On sait résoudre les équations et les inéquations du premier degré ou © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit. Pour résoudre une

devaient se livrer une bataille décisive. Quand ils virent brusquement le jour se transformer en nuit, comme l’avait prédit Thalès, ils connurent une telle panique qu’ils préférèrent cesser les combats et signer un accord de paix.), ainsi qu'à un théorème de la théorie du triangle auquel il donna son nom et qu’il appliqua à la mesure de la hauteur des Pyramides et à la mesure des distances en mer. Il est aussi connu pour ses travaux sur l'électricité statique. Il avait en effet constaté qu’un morceau

On utilise le théorème de Thalès pour démontrer x 6x que MN = et BQ = . 2 8 3x On en déduit que MQ = 12 – , et ainsi que l’aire du 2 9 3x ⎞ 3x ⎛ rectangle MNPQ est ⎜12 − ⎟ soit : – x2 + 9x. 8 2⎠ 4 ⎝ On en déduit que l’aire du rectangle est maximale pour x = 4.  165 1. a. L’angle PMQ est égal à 90° car : 164   AMP = QMB = 45°. b. On exprime les longueurs PM et MQ en fonction de x à l’aide du théorème de Pythagore. Puis, à l’aide de ce même théorème, on a : PQ2 = PM2

Solutions to exercises 10. A chaotic end? 1. Introduction 2. Literature 3. The Second World War 4. Abstraction and ‘Bourbaki’ 5. The computer 6. Chaos: the less you know, the more you get 7. From topology to categories 8. Physics 9. Fermat’s Last Theorem Appendix A. From Bourbaki, ‘Algebra’, Introduction Appendix B. Turing on computable numbers Solutions to exercises Conclusion Bibliography Index 228 231 231 232 232 235 235 236 238 240 243 246 249 251 254 256 256 258 260 263 271 List of figures

condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? 21 [002992] [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a˙ est équipotent à H. 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient

2. A quelle condition sur α, β , fα,β est-elle d’ordre fini ? [002993] Exercice 2994 Théorème de Lagrange Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. On définit une relation sur G par : ∀ x, y ∈ G, x ∼ y ⇐⇒ ∃ h ∈ H tel que x = hy. 1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence. Quelle est la classe de e ? 2. Soit a ∈ G. Montrer que a est équipotent à H. ˙ 3. En déduire que Card H divise Card G (Théorème de Lagrange). [002994] Exercice 2995 Relation d’équivalence avec deux sous-groupes Soient