Thales Pestel

Pythagore : OA2 = OO’2 + O’A2 soit 62 = OO’2 + 42 et OO’2 = 20. Il en résulte que OO’ = 215 cm soit environ 4,47 cm. 11 (MN) et (PM) sont deux droites (sécantes) du plan (MNP). Elles sont respectivement parallèles à deux droites 4 4 du théorème de Thalès : (PN) et (EF) sont parallèles. Le quadrilatère ABED est un rectangle : les égalités AM = 3 AB et DN = 3 DE entraînent l’égalité des lon4 4 gueurs AM et DN. Il en résulte que le quadrilatère AMND est un parallélogramme (et même un rectangle) et donc

en ordonnées. Courbe représentative 3. b) Graphique obtenu tracée à la main avec l’assistant graphique du tableur Température 20 (en °C) 0 –20 –40 –60 6 Altitude (en km) 20 40 60 2. a) Les droites (IM) et (CD) étant parallèles, le théorème de Thalès fournit l’égalité des rapports : IM AM = DC AD Sachant que AM = a, AD = 10 et DC = 8, il vient IM = 8a ÷ 10 = 0,8 a. b) Les côtés de l’angle droit dans AMI sont [AM] et [IM]. On a donc deux possibilités : Soit AM = 3,2 donc a = 3,2. Soit IM = 3,2

Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs − → − → Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. A C B D 2 Relation de Chasles − − → → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − − → → − → − − → → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − − → → − → − → − → − → − → − → − − − → → → − AC + 2CB − AB =

TRANSLATION ET VECTEURS Activités de groupe : La Translation (Partie1) : http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/telech/trans_gr1.pdf La Translation (Partie2) : http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques//telech/trans_gr2.pdf I. Translation Exemple : B 80m A Une translation est un glissement : - avec une direction donnée : câble du téléphérique, la droite (AB), - avec un sens donné : le téléphérique monte de A vers B, - avec une longueur donnée : 80m, longueur AB T’ T On dit que : Le

Proportionnalité des longueurs dans un triangle : Si, dans un triangle ABC, M est un point de [AB], N un point de [AC] et (MN) est AM AN MN = = parallèle à (BC) alors . AB AC BC Remarque : On appelle parfois cette propriété la (petite) propriété de Thalès. H Exemple : Sur la figure suivante, les droites (OL) et (TE) sont parallèles. On donne HE = 5 cm, HL = 2 cm, TE = 7 cm et HO = 3 cm. Calcule les longueurs HT et OL. T O L E Dans le triangle HTE : O ∈ [HT], L ∈ [HE] et (OL) // (TE)

faire apparaître ? » 4) « Y a-t-il une identité remarquable ? » Chapitre 6 – Théorème de Thalès. 1) Le Théorème. Exemple de rédaction : on sait que : A, B et M sont alignés A, C et N sont alignés (BC) // (MN) D’après le théorème de Thalès, dans les triangles ABC et AMN : ABAM = ACAN = BCMN on conserve les deux quotients utiles : ABAM = BCMN 25 = 3MN 2 x MN = 5 x 3 MN

Angles orientés de deux vecteurs I) Définition : • et • sont deux vecteurs non nuls. et sont deux représentants de ces vecteurs. • A’ et B’ sont les points d’intersections respectifs des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique (C ). La mesure en radians de l’angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de ( ′ ; ′) II) Propriétés des angles orientés 1) Propriétés et sont deux vecteurs non nuls. • et sont colinéaires de même sens si , et seulement

Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs − → −→ Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. B A D C 2 Relation de Chasles − → − → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − → − → − → − → − → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − AC + 2CB − AB = AC + CB

I. Les théorèmes des milieux 1. Propriété Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle alors elle est parallèle au troisième côté du triangle. I milieu de [AB] J milieu de [AC] (IJ) est parallèle à (BC). 2. Remarque Cette propriété sert à montrer que deux droites sont parallèles. 3. Propriété Si un segment joint les milieux de deux côtés d'un triangle alors sa longueur est égale à la moitié de la longueur du troisième côté du triangle. I milieu de [AB] J milieu de [AC] IJ =

Marc Spigai JURY Professeur, Télécom ParisTech Professeur, ENSE3 Grenoble Professeur, Polytech Annecy-Chambéry Professeur, Université Libre de Bruxelles Professeur, ENSEEIHT Toulouse Professeur, ENSEEIHT Toulouse Docteur, CESBIO-CNES, Toulouse Thales Alenia Space, Toulouse Rapporteur Rapporteur Examinateur Examinateur Directeur de thèse Directeur de thèse Co-Directeur de thèse Co-Directeur de thèse Ecole doctorale : Mathématiques Informatique Télécommunication de Toulouse Unité de recherche