Tfe Integration

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction

CCP — TSI — 2006 — 2 1 I) 1) Equations différentielles a) L’équation différentielle est linéaire, du premier ordre à coefficients non constants avec second ∗ membre. On travaille sur R+ , intervalle sur lequel le théorème s’applique, on connait donc l’existence de solutions et leur structure. 1 L’équation homogène associée est : xy − y = 0, ses solutions sont : y = Ke− − x dx = Kx. b) On cherche ici une solution particulière, à moins d’en « deviner » une, on applique la méthode de variation

l'ensemble M1 est un espace vectoriel. 2 3. Exemple d'une fonction non moyennable. On considère la fonction x0 dénie par : x0 (t) = ei ln(t+1) si t > 0 x0 (t) = 0 si t ≤ 0 (a) Vérier que x0 ∈ B. (b) Montrer, en utilisant une intégration par parties que, pour tout T > 0 : MT (x0 ) = ei ln(T +1) − i T T 0 tei ln(t+1) dt. t+1 (c) Montrer , en utilisant le changement de variable s = ln(t + 1), que : MT (x0 ) = T + 1 i ln(T +1) 1 e − . (i + 1)T (i + 1)T (d) Calculer lim

situation la plus facile à identifier… Exercice 4 A l’aide d’une intégration par partie, calculer J1 = ∫ e 1 x ln(x) dx. © Tous droits réservés Studyrama 2008 Fiche téléchargée sur www.studyrama.com 1 Fiche Exercices Nº : 32005 MATHEMATIQUES Série S Appliquer deux fois la formule d’intégration par parties et obtenir une équation dont l’intégrale est l’inconnue Exercice 5 A l’aide de deux intégrations par parties, calculer J 2 = π 2 ∫ 0 e x sin(x) dx .

(t)dt. a f (t)g(t)dt Et par conséquence a b ∈ [m, M ] f (t)dt , ce qui implique l'éxistence d'un a c dans [a, b] tel que : b f (t)g(t)dt g(c) = a b f (t)dt a 6 CHAPITRE 1. INTÉGRALE SUR [A, B] Intégration par partie : Proposition : Soient u et v deux fonctions de classe C∞ sur [a, b] b , alors on a : b a u (t)v(t)dt = [u(t)v(t)]b − a x u(t)v (t)dt a x Démonstration : On pose : F (x) = a u (t)v(t)dt

SESSION 2012 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE (ENSI) FILIERE MP MATHEMATIQUES 1 EXERCICE 1 : normes équivalentes 1. Soit f ∈ E. f est de classe C1 sur [0, 1]. Donc la fonction |f ′ | est continue sur le segment [0, 1] et par suite la fonction |f ′ | est intégrable sur le segment [0, 1]. On en déduit que f existe dans R. 1 • Pour tout f ∈ E, f = |f(0)| + 2 • Soit f ∈ E. 0 |f ′ (t)| dt 0. 1 1 f = 0 ⇒ |f(0)| + 2 0 • Soient f ∈ E et λ ∈ R. ⇒ ∀t ∈ [0, 1], f(t) = f(0)

l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives x = α et x = 4.  2   u(x) = x u (x) = x 2 2. Posons =⇒  v(x) = ln x  v (x) = 1 x Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur l’intervalle [α ; 4], on peut donc faire une intégration par parties : 0 − e−1 0 + +∞ +∞ 1 (car α = 0). α Baccalauréat S A. P. M. E. P. 4 x x2 x2 x2 x2 1 × dx = ln x − dx = ln x − = x 2 2 4 α α 2 α 2 α α α2 α2 α2 α2 ln α − − ln α. = 8ln 4 − 4 + 8ln 4 − 4 − 2 4 4 2 4 α2 α2 3. I = (x ln x −

déduire un équivalent simple de In lorsque In tend vers +∞. 10. Soit In = π 2 0 ∫ (cos x ) n dx , avec n appartenant à N. 1°) Montrer que la suite (In) est décroissante. En déduire qu'elle est convergente. 2°) A l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout n ≥ 2, on a : In = 3°) Après avoir calculé I0 et I1, en déduire I2p et I2p+1, p ∈ N. I 2 p + 2 I 2 p +1 4°) Montrer que pour tout p ∈ N, on a : ≤ ≤ 1. I 2p I 2p 2 n −1 In−2. n  2.4.6.K.2p  1

4. 5. 2 3 4 3 Ensemble des Nombres réels Limite et continuité Dérivabilité Etude d’une fonction EXERCICES 3 6 10 13 15 Primitives. Calcul intégral 16 1. 2. 3. 4. 5. 16 17 19 20 21 Primitives Intégration Méthodes d’intégration Calcul approché d’une intégrale EXERCICES Formule de Taylor. Développements limités 22 1. 2. 3. 4. 5. 22 23 24 26 27 Comparaison des fonctions Formules de Taylor Développements limités Applications

Oxylane : Décathlon Intégration verticale Définition : L’intégration verticale peut se définir comme l’intégration par une société d’activités situées en amont ou en aval sur sa chaîne de valeur. A une transaction marchande d’achat ou de vente se substitue un échange interne au sein de l’entreprise. Là où la société achetait un bien ou un service, elle produit maintenant elle-même ce bien ou ce service. Là où elle vendait ses produits à des intermédiaires, elle commercialise elle-même ses