Tfe Integration

Remarques : Évidemment, si ¦ est négative sur [a, b] alors son intégrale est négative. Par contre, on ne peut rien dire, a priori, du signe de l'intégrale d'une fonction changeant de signe sur [a, b]. 3.2. Propriété Compatibilité avec l'ordre (intégration d'une inégalité) Si ¦ et g sont continues sur le segment [a, b] avec a  b alors : ¦  g sur [a, b] Þ ò b a ò ¦ (t ) dt  b g (t ) dt a Démonstration : Étudions d'abord le cas où ¦ et g sont positives (on a donc 0  ¦ 

Intégration TD2 Intégrale de Lebesgue : outils de calculs Préparation à l’agrégation de mathématiques, ENS Cachan. e-mail : ayman@crans.org On désigne par (X, A , µ) un espace mesuré. L 1 (µ) désigne l’ensemble des fonctions mesurables complexes f définies sur X vérifiant : |f |dµ < ∞ X 1 Théorème fondamental du calcul : Ce théorème regroupe deux résultats, connus depuis l’intégrale de Riemann (on omet volontairement les hypothèses pour l’instant) : x « F (x) := f (t)dt définit

Ch 9 : Calcul intégral – Notion de primitives Savoirs faire |Savoir … |Comment faire ? | | |. Si on connaît une primitive F de f sur [a ; b], alors | | |[pic] = F(b) – F(a). | |

que je veux calculer initialement. Mais, avec cette méthode, je tombe sur une intégrale tout aussi difficile à calculer... On va donc à nouveau transformer cette nouvelle intégrale : b ex cos(x) a dx On va utiliser à nouveau une intégration par partie. b b b ex cos(x) a dx = ex sin(x) a a ex sin(x) dx Cette fois, on a posé : Donc, dans ce cas : U(x) = ex U '(x) = ex et et V(x) = V '(x) = cos(x) sin(x) On remplace maintenant

) si x  0 g(x) =  .  0 si x  0 3) a) Montrer que g est positive sur IR. b) Montrer que g est continue sur ] –, 0 [ et sur [ 0, + [. c) En remarquant que, si l’on pose u’ (x) = – f (x), on peut choisir u(x) = 1 – F(x), montrer grâce à une intégration par parties, que 0  x h( x ) dx puis donner sa valeur. En déduire que X 0  g ( x) dx est une intégrale convergente et que 0  g ( x) dx = 1. d) Établir que g peut être considérée comme la densité d’une variable

sép—r—nt l9intégr—tion de son ™omp—nion di'érenti—tion en ex—min—nt les sommes et le pro™édé de l— limite pour déterminer une surf—™e donnéeF sl — étendu son idée en ™onsidér—nt toutes les fon™tions sur un interv—lle sur lesquelles le pro™essus d9"intégration" peut être —ppliquéF gette portéeD d—ns ™e nouve—u point de vue de ‚iem—nn v— ouvrir les portes pour l9invention d9—utres méthodes d9intégr—tion ™omme ™elle de ve˜esgueF hur—nt l— (n des —nnées IWSHD une des extension de l9intégr—le de ‚eim—nn —

2 0 2 e  b) Vrai :    1 4 1 sin 2tdt    cos2t    2 0 2 sin t  1 3 dt    2 1  1. 2 cos t  cos t  0   c) Vrai :  e 1 ln tdt   t ln t  t  1  1 .  3 0 d) Vrai : 1 0 e) Vrai : Intégration par parties, 1. 6. QCM 2  tetdt   (t  1)et   1 .   0 1 Fesic 2002, exercice 5. Répondre simplement par Vrai ou Faux à chaque question. On rappelle que 2 < e < 3. Soit f la fonction définie sur  par f ( x)  ( x  1)e2x . a

∂2 f 2 (A) ∂y  (matrice Hessienne de f ). Montrer que : Exercice 4151 Formule de Leibniz Soient f , g : R2 → R de classe C n . Calculer Correction ∂ n ( f g) ∂ xk ∂ yn−k en fonction des dérivées de f et g. [004151] Exercice 4152 Intégration de formes différentielles Déterminer les fonctions f : D ⊂ R2 → R vérifiant : 1. ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y = = = 2+x y 2+y x 1−y (x+y+1)2 2+x (x+y+1)2 y2 (x+y)2 x2 (x+y)2 =  ∂ f = ∂x 3. ∂ f = ∂y 2. 4. ∂f ∂x ∂f ∂y = 2x + 1

|Option 1 : Poursuivre l’exploitation actuelle du barrage de |Option 2 : Assurer une protection intégrale du barrage de |Option 3 : Assurer une protection participative tout en permettant une | |Yakouta telle qu’elle est pratiquée |Yakouta à travers l’application des mesures coercitives |valorisation efficiente des ressources du barrage | | |nécessaires

Equations différentielles 1. Généralités Définition Une équation différentielle est une relation entre une variable réelle (par exemple x), une fonction qui dépend de cette variable (par exemple y) et un certain nombre de ses dérivées successives. Lorsque la dérivée de plus haut degré de la fonction (qui apparaît réellement) est la nième (n∈À*), on dit que l'équation différentielle est d'ordre n. Exemples x yy" = x − x2y' est une équation différentielle d'ordre 2 où y est une fonction