Tfe Integration

déduire le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +∞[. I= f (x) dx. α 1. Justifier que l’intégrale I est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique donné en annexe (à rendre avec la copie). 2. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’intégrale 4 J= 3. Montrer l’égalité : I = x ln x dx. α α2 α + + 16ln 2 − 8. 4 2 En déduire une valeur approchée de I à 10−1 près. 5 points E XERCICE 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

QUELQUES RAPPELS JUSTE AVANT L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Pour Dimitri 1. Calcul intégral facilité par les nombres complexes Par exemple, calculer une intégrale de forme a cosn xdx ou a sinn xdx avec n pair. Nous verrons dans un moment que le cas où n est impair est plus facile et direct. Exemple π I = 02 sin4 xdx. 2 méthodes : (1) la première, en utilisant les formules de trigonométrie de 1ère : dicile et long (on linéarise deux fois). D'abord, on utilise la formule sin2 a = 1−cos(2a) , ce qui

Université Blaise Pascal UFR Sciences et Technologies Licence Sciences et Technologies Méthodes Numériques 2007/2008 Cursus : Licence Mathématiques (L3) Contrôle Continu n°1 Groupe  : F2 1 . INTRODUCTION Dans ce projet on cherche à calculer les valeurs approchées de l’intégrale sur un intervalle [a, b] d’une fonction g qui est suffisamment régulière sur cet intervalle, par différentes méthodes. Ici : - g(x) = 1/x sur R* donc sur l’intervalle [1, 2] - g(x) = sinx+xcosx

car 4x − 8 reste strictement positif sur 4 ]2 ; +∞[. • Si f (x) = e−x = − −e−x alors une primitive de f est définie par F (x) = −e−x . 1 1 • Si f (x) = e4x+5 = 4e4x+5 alors une primitive de f est définie par F (x) = e4x+5 . 4 4 5. Intégration Soit f une fonction continue sur un intervalle I : b • Pour tous a et b de I, a b f (x) dx = [F (x)]a = F (b) − F (a) où F est une primitive de f sur I. x • Pour tout a de I, la fonction F définie par F (x) = x = a. e Exemple

. . . . . . . 2.1.3 Déf. d’une intégrale indéfinie . . . . . . 2.1.4 Quelques propriétés . . . . . . . . . . . 2.2 Recherche de primitives . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Intégration par identification . . . . . . 2.2.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . 2.2.3 Intégration par changement de variable 2.2.4 Intégration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 4 4 5 5 6 7 9 3 Intégrale définie

Série De Revision Parti I Exercice 1: Soit f la fonction définie par ?(?) = 1 √−x²+4x−3 1. Déterminer Df , le domaine de définition de f. 3 2. Calculer l’intégral ∫2 fx. dx Aide : On pourra écrire –x²+4x-3 sous forme canonique puis faire un changement de variable. ∫ Exercice 2 : Calculer la primitive 3x4 +2x²+1 x3 (x2 +1)² dx k4 Exercice 3 : Calculer limn→∞ ∑n k=1 n5 Exercice 4 : Soit φ la fonction définie sur ℝ par φ(x) = b Montrer que ∀(a, b) ∈ ℝ , on a : ∫a e−t² dt = √π 2 2 x ∫

. . . . . . . . . . . . I.F Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . I.G Calculs de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.H Calculs d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.I Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.J Calculs de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’intégrales : indications Intégration par parties - Changements de variable Exercice 1 - Changements de variables - Niveau 1 - L1/Math Sup 1. Poser u = √ t. 2. Poser u = ex . Exercice 2 - Changements de variables - Niveau 2 - L1/Math Sup 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = et − 1. Exercice 3 - Changements de variables - Recherche de primitives - L1/Math Sup - 1. Poser u = ln x. √ 2. Poser u = x. Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 1 - L1/Math Sup Exercice 5 - Intégration par parties - Niveau

Intégrale à paramètre   Supposons que f soit une fonction de deux variables définies sur I×J, où I et J sont des intervalles, à valeurs dans R. On peut alors intégrer f par rapport à une variable, par exemple la seconde, sur l'intervalle J. On obtient une valeur qui dépend de la première variable. Plus précisément, on définit une fonction F sur I par On dit que la fonction F est une intégrale dépendant du paramètre x. On parle plus communément d'intégrale à paramètre. Bien sûr, on ne peut

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives: Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x 7→ F(x)