Tfe Integration

primitive (formelle) de est : La partie réelle de cette expression est : qui est donc une primitive de . La seconde technique de calcul à connaître est l'intégration par parties : Il faut penser à une intégration par parties quand l'un des facteurs de la fonction à intégrer a une dérivée plus simple, essentiellement un polynôme (dériver diminue le degré), (dérivée ), (dérivée ) ou (dérivée ). Encore faut-il connaître une primitive de l'autre facteur.

Les débuts de l'intégrale définie Tout d’abord, c’est Augustin Louis Cauchy qui a découvert comment trouver l’aire de n’importe qu’elle courbe, soit par des sommes de rectangles. Par la suite, dans les années 1850, Bernhard Reimann a repris les sommes, les a amélioré, et leurs a donné son nom, d’où vient les Sommes de Reimann. Ensuite, Gaston Darboux traduit les travaux de Reimann, et amène des améliorations : les sommes inférieures et les sommes supérieures. Rrésumé de la technique de

Intégration On considère un repère orthogonal [pic]. [pic] 1 unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle OIKJ. I – Intégrale d’une fonction positive Définition : On considère une fonction f continue et positive sur [pic]. [pic] est sa courbe représentative dans le repère [pic]. [pic] On définit le domaine D délimité par : • [pic], • Les droites d’équation [pic] et [pic], • L’axe des abscisses. L’aire de D, exprimée en unités d’aire, est le réel [pic]. Cette écriture

fonction g prend des valeurs ≤ ε et ≥ 0. Ainsi avec la subdivision σ = {x1 , . . . , x p } nous obtenons : ε σ 0 ≤ Sg ≤ (b − a) = ε b−a Comme On en conclut que g est Riemann-intégrable sur [0, 1]. Correction de l’exercice 5 cf André Gramain, Intégration, p. 7, Hermann (1998). Correction de l’exercice 6 Pour tout n ∈ N, on définit fn :]0, 1] → R par : fn (x) = ne−nx . Pour tout x ∈]0, 1], on a limn→+∞ fn (x) = limn→+∞ ne−nx = 0. On en déduit que la suite de fonctions fn converge ponctuellement (ou

primitives. 107 4.1 Techniques générales Autant il n’existe pas de méthode systématique, il existe un certain nombre de techniques générales qui permettent de ramener des calculs de primitives compliquées à des primitives plus simples. 4.1.1 Intégration par parties Elle repose sur la formule (f g)0 = f 0 g + gf 0 . Ainsi Z Z f 0 gdt = f g f g 0 dt + C Exercice de cours 69. En utilisant la formule d’intégration par parties ci-dessus, calculer : • une primitive de xex • une primitive de ln x (on

TF06_transitoire_Laplace.xmcd TF06 - Transitoire - Exercice Régime transitoire - transformée de Laplace Un solide semi-infini subit sur la face (x=0) une élévation de température proportionnelle au temps (T = k t). La température initiale est 0°C. Déterminer le profil de température par la méthode de la transformée de Laplace. Quelle est la température à 10 cm à l’intérieur après un temps de 2 mn ? On donne : k = 0,5°C/s et α = 0,4 cm²/s. Pour faire ce calcul on rappelle que si on connaît l’original

Récapitulatif en maths I. Probabilité La somme de toutes les probabilités est égale 1. Union (OU) : Intervalle (ET) : Probabilité totale c’est-à-dire quand la probabilité de E se trouve dans plusieurs branches de l’arbre alors : Probabilité conditionnelle (sachant) : II. Suites 1. Suites arithmétique : r est la raison, c’est-à-dire qu’on ajoute ou toujours ce même nombre. C’est une variable fixe contrairement à Un qui varie.  Sinon, cette formule sert à calculer chaque terme (U1, U2

La Réunion, série S, 21 juin 2011 Exercice 1 - commun - 4 points 1. Le plan P et la droite D n’ont aucun point commun. 2. Les plans P et P ′ sont sécants suivant une droite de vecteur directeur −i + j + k. 3. L’ensemble des points M de l’espace qui sont équidistants des points A et B est le plan d’équation −4x + 2y + 5z − 52 = 0. −−→ −−→ 4. L’ensemble des points M de l’espace tels que M A − 3MB = 5 est une sphère dont le centre a pour coordonnées (−5; 5; 72). ➠ Pour voir les justifications (cliquer

y 8 Intégrales Intégrales et calculs d’aires -1 Alors : 4 3 A 2 1 A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ; 0 1 2 3 4 5 6 7 (si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… ……………………………………………………………………

raisonnement. Conclusion ℓ = 0. Exercice. En s’inspirant de cette démonstration, montrer que lim f (x) = 0. ∞ x→−∞ ∞ f (x)dx. D’où contraction car f ∈ K . ix 1 2) i(P f )(x) = ix f (x) = √ f (x)e−iαx dx = √ ix f (x)e−iαx dx. 2π −∞ 2π −∞ Une intégration par parties avec u = f et dv = ixe−itx dt, on obtient : ∞ ∞ ∞ 1 1 −itx ′ −itx i(P f )(x) = √ −e f (t) −∞ + f (t)e dt = √ f ′ (t)e−itx dt = (D f )(x). 2π 2π −∞ −∞ 4.5 Quelques propriétés de la transformation de F ourier Adoptons la notation f