Tfe Integration

différentielle y ′ − y = g ′ équivaut à (e−x y (x)) = e−x g ′ (x) donc x y (x) = Kex + ex 0 e−t g ′ (t) dt x I.2 les solutions de (S) sont de la forme f (x) = Kex + ex 0 e−t g′ (t) dt avec f (0) = g (0) d’où x x x K = g (0) . Une petite intégration par parties donne 0 e−t g′ (t) dt = [e−t g (t)]0 + 0 e−t g (t) dt = x e−x g (x) − g (0) + 0 e−t g (t) dt. Ainsi x x f (x) = g (x) + ex 0 e−t g (t) dt = g (x) + 0 ex−t g (t) dt Comme on a procédé par équivalence on a bien LA solution

Exercices - Formules intégrales de Cauchy - Inégalités de Cauchy - Applications : corrigé Intégration complexe Exercice 1 - Avez-vous compris ? - L3/M1 Le chemin est paramétré par t → (t, t2 ), où t ∈ [1, 2]. On a donc, le long du chemin, z = t + it2 , dz = (1 + 2it)dt, et donc 2 I= 1 7 (t − it2 )(1 + 2it)dt = 9 + i. 3 Exercice 2 - - L3/M1 On peut paramétrer l’arc de cercle par z = 2eit , 0 ≤ t ≤ π. Il vient π/2 I= 0 (4e2it + 6eit )2ieit dt = −8 44 i− , 3 3 après un petit

T HÉORIE DE LA MESURE ET DE L’ INTÉGRATION . T HIERRY G ALLAY Transcrit par Tancrède L EPOINT 2009 U NIVERSITÉ J OSEPH F OURIER , G RENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduction 1 Théorie générale de la mesure 1.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . 1.2 Définition et exemples de mesures 1.3 Exemple : l’ensemble de Cantor . . 1.4 Complétion des mesures . . . . . .

Euler, Lambert, Liouville, Hermite, Wantzel, Lindemann, Lebesgue, Apéry et autres découvreurs de mathématiques. Annexe : Liens Internet : Preuves d’irrationalité et de transcendance Une preuve de l’irrationalité de e sans intégration (pour une preuve après le chapitre intégration, voir le sujet de juin 91 du bac D, dans les académies d’Amiens,…Rouen): http://gc.saliege.fr/ (site de Gérard Chevet) Une preuve de l’irrationalité de  : http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent/html/irem.htm (site de Géry Huvent)

nouveaux pour les intégrales généralisées ; il suffira, x comme dans l'exemple précédent, d'effectuer ces opérations sur les intégrales ⌠ ⌡  f(t) dt      a avant de chercher la limite éventuelle de la fonction de x. Exemple Par récurrence et intégration par parties, on prouve que pour tout 3 n ‘ ˙ , l'intégrale +& tn e-t dt est convergente et vaut n! . ⌠ ⌡       0 Proposition 1 Si f et g ont des intégrales convergentes sur [a , b[ (ou ]a , b] , ]a , b[) , f + g et ¬f (¬ dans È ou Â) ont

). Montrer que : ∀ A ∈ R2 , H f ◦ϕ (A) = t JH f (ϕ(A))J. [004150] Exercice 4151 Formule de Leibniz Soient f , g : R2 → R de classe C n . Calculer ∂ n ( f g) ∂ xk ∂ yn−k en fonction des dérivées de f et g. Correction [004151] Exercice 4152 Intégration de formes différentielles Déterminer les fonctions f : D ⊂ R2 → R vérifiant : 1. ∂f ∂x ∂f ∂y = = 2+x y 2+y x 198 1−y (x+y+1)2 2+x (x+y+1)2 2. ∂f ∂x ∂f ∂y = 3. ∂f ∂x ∂f ∂y = 4. ∂f ∂x ∂f ∂y = 2x + 1y = = y2 (x+y)2 x2 (x+y)2 = 2y

Université de Cergy-Pontoise Licence S3 PC 2008-2009 cours no 2 : Intégrales généralisées Rappelons que les inégrales de fonctions réelles ont été définies sur un segment pour des fonctions continues par morceaux. Il est possible de généraliser cette construction à un certain type de fonctions bornées, définies sur des segments (on parle d’intégrale de Riemann ou d’intégrabilité au snes de Riemann) dont les fonction monotones font parties. Dans ce cours, nous nous intéresserons à des fonctions

Calculs d’intégrales. Primitives Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de la fonction f sur l’intervalle I toute fonction F définie et dérivable sur I telle que F ′ = f. Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale Théorème fondamental • Si f est continue sur l’intervalle I, alors f admet des primitives sur I. • Si F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle I, les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme x → F(x) + C où

. b. Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note D le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l’intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l’aire de D en unités d’aire. 1,5 y 1 0,5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 x -0,5 -1 -1,5 1 D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php Antilles, Juin 2007 Sujets de Bac Terminale S

424 Concours commun Agro INA ENSA Ière composition option générale 1/2 M ATHÉMATIQUES Durée : 3 heures PREM&RE COMPOSITION (Option générale) Concours commun INA-ENS! Le problème a pour objet I'étude de I'tquation différentielle (€1 xy' + y = - . 2 1 +x 1 Dans la partie 1, on étudie et on construit dans un repère orthonormé d'axes Or, Oy les courbes intCgrales de (El. Dans la partie II, on étudie une primitive de l'une des solutions de (€1. PARTIE 1 t t u d e des courbes