Tangente

et le portefeuille d’actifs risqués. Cette droite est optimale quand elle est tangente à la courbe du portefeuille d’actifs risqués (identique pour tous) Déterminer les proportions préférées entre actif sans risque et portefeuille tangent (dépend des préférences de chacun) 23 Stratégie de portefeuille  Conclusion : tous les individus combinent le même actif sans risque et le même portefeuille tangent, mais avec des proportions différentes 24 12 

5 d’où 4a + b = 5, 4a + 1 = 5, a = 1. b) 8 y x 1 2 8 10 – f (1) = 1,9e1 = 1,9e 1 7 g (1) = − 4 1− 1− = 5 2 2 f (1)  g (1), donc les deux courbes ne se coupent pas quand x = 1. Elles ne peuvent donc pas avoir la même tangente au point d’abscisse 1. ( )( ) u(x) avec u(x) = e x et v(x) = x – 1, donc v(x) u’ (x) = e x et v’ (x) = 1. Par conséquent : u′(x)v(x) − u(x)v ′(x) f ’ (x) = (v(x))2 x e (x − 1) − e x xe x − 2e x = = (x − 1) 2 (x − 1) 2 f (x) =

chacune des fonctions g et g ' sa représentation graphique. On justifiera le résultat 3 en donnant un tableau où figureront, sur l'intervalle – ;5 , le signe de g '  x  et les variations de g . 2 2°) Justifier que le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 0 est 1 ? 1°) [ ] Partie B Résolution d'une équation différentielle On considère les deux équations différentielles (E): y '  y=2  x1 e – x et (E') : y '  y=0 . Le but de cette partie est de résoudre

de dismutation de l'eau oxygénée s'écrit : 1 dx dx dx vt = . La quantité   .représente la valeur dérivée de la fonction x(t) à la date t1. Graphiquement,   1 VS  dt t1  dt t1  dt t1 représente le coefficient directeur de la tangente à la courbe x en fonction de t à la date t1. Calculer la vitesse de la réaction 6. de dismutation de l'eau oxygénée à la date t = 10 min. 9. Que dire de l'évolution de la vitesse de la réaction au cours du temps ? Donner une réponse qualitative

g´om´trique e e e Le nombre d´riv´ en x0 d’une fonction f , d´rivable en x0 , est ´gal au e e e e coefficient directeur de la tangente (D) ` la courbe repr´sentative de f a e en x0 . Avec f (x0 ) = a, l’´quation de (D) est donn´e par e e y = a(x − x0 ) + f (x0 ). Une fonction f n’est pas d´rivable en x0 lorsque sa courbe repr´sentative e e admet en ce point une tangente parall`le ` l’axe des ordonn´es. e a e 1 Vade-mecum sur la d´rivation e www.mathforu.com 3 D´riv´es usuelles e e

2) Déterminer, graphiquement, le nombre dérivé f’(5) de la fonction f au point A d’abscisse x = 5. Le nombre dérivé f’(5) au point A d’abscisse x = 5 correspond à la vitesse du surfeur dans le tube au bout de 5 s. 3) Tracer les tangentes T1 et T2 respectivement aux points d’abscisse x = 0 et x = 15 4) Déterminer alors, graphiquement, la vitesse du surfeur à l’entée et à la sortie du tube, c’est dire pour x = 0 et x = 15. 5) En déduire les nombres dérivés f’ (0) et

Créer une grandeur (fenêtre Grandeur ) [pic] permet d’ajouter une grandeur, expérimentale ou calculée. [pic] permet de supprimer une grandeur expérimentale. Dérivée 1ère possibilité : dans la fenêtre Graphe, tracer la tangente avec Curseur tangente et lire la dérivée à côté des coordonnées en bas du graphe. 2ème possibilité : dans la fenêtre Grandeur, créer la grandeur dérivée (voir « Créer une grandeur ») Entrer des données (fenêtre Grandeur ) Fichier, Nouveau, Clavier

appelée la courbe des contrats. Les allocations efficaces au sens de Pareto possèdent une propriété géométrique simple : les courbes d’indifférence des deux agents doivent être tangentes pour toute allocation efficace au sens de Pareto située à l’intérieur de la boîte. Si les deux courbes d’indifférence ne sont pas tangentes en une allocation située à l’intérieur de la boîte, elles doivent nécessairement se croiser. Donc si elles se croisent, il doit exister un échange mutuellement avantageux. À

différence de 2 angles. Sin (α – β) = Cosα * Cosβ – Sinβ * Sinα Cosinus d’une somme de 2 angles. Cos (α + β) = Cosα * Cosβ – Sinβ * Sinα Cosinus d’une différence de 2 angles. Cos (α – β) = Cosα * Cosβ + Sinα * Sinβ Tangente d’une somme. Tg(α + β) = Tgα + Tgβ / 1 – Tgα * Tgβ Tangente d’une difference. Tg(α – β) = Tgα – Tgβ / 1 + Tgα * Tgβ Formules de duplication. Sin 2α = 2Sinα * Cosα Cos 2α = Cosα * Cosα – Sinα * Sinα Tg 2α = 2Tgα / 1 – Tg²α SSI 2α ≠ π/2 + kπ α≠ π/2 + kπ α≠ π/4 + kπ/2

longueur des segments [BH] et [AH] ? Quelles sont les mesures des angles et ? Calculer alors les valeurs exactes des sinus, cosinus et tangente de ces angles. Ensuite Théodule construit un triangle ABC rectangle isocèle en A tel que : AB=1. Quelles sont les mesures des angles de ce triangle ? Calculer BC. Calculer alors les valeurs exactes des sinus, cosinus et tangente de l’angle . 2 L’escargot : Dans la figure ci-dessous, les angles mesure 10 (unités de longueur). , , , …sont tous isométriques