Sinus cardinal

Tracer U1(t) -15 30 20 10 ms 2 D’après U1(t) , déterminez : la période : T = 10ms l’amplitude : A = 15V la fréquence : F = 100Hz Relation entre pulsation, fréquence et période La courbe sinusoïdale vient du sinus du triangle réaliser avec le cercle trigonométrique Pour les différents instants t (0,1, 2,...), on reporte la projection du vecteur U sur l'axe des ordonnées en fonction du temps t (croix bleue). Les différents points forment une sinusoïde.

Exercices de Télécommunications GTR 2nde année exercice 1 : Retrouver les identités trigonométriques : sin (a+b) = sin (a-b) = cos a cos b = sin a . sin b = cos a + cos b = cos a - cos b = exercice 2 : Un générateur délivre le signal am(t) : Télécommunications analogiques semaine 1 cos (a+b) = sin a . cos b = sin a + sin b = cos (a-b) = sin b cos a = sin a - sin b = Il faut les connaître. Vous pourrez les retrouver en souvenant de l'équation : e ix = cos( x ) + i sin( x ) a m (t )

; j ) = + π [2π] . 2 Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x, ● l'abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos x ou cos(x). ● l'ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin x ou sin(x). Propriété Pour tout réel x, on a x sin x x cos x 1 (voir démonstration 01) - 1 £ cos x £ 1 : - 1 £ sin x £ 1 ; ; Valeurs particulières (voir démonstration 02) x 0 π 6

à chaque élément x de l'intervalle de définition associe la valeur f ′( x ) de la dérivée de f en x. Cette fonction s'appelle la dérivée de f et se note f ′ . 2°/ Exemples. a) La fonction qui à x associe x est dérivable sauf en 0. b) La fonction sinus est dérivable et sa dérivée est la fonction cosinus. Des formules apprises en terminale permettent de calculer des dérivées de fonctions déduites d'autres fonctions dérivables : (u + v ) ′ = u ′ + v ′, (uv ) ′ = u ′v + uv ′ , ( ku) ′ = ku ′ si k est

Cercle trigonométrique et définition du sinus, du cosinus et de la tangente Munissons le plan d'un repère orthonormé (O ; I, J). Le cercle trigonométrique est le tan M sin a cercle de centre O et de rayon 1 orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles a d'une montre). Soit M un point du cercle tel que a soit une mesure, en radians, de uur uuuur l'angle orienté OI , OM . ( cos a O ) Définition du sinus et du cosinus : On appelle cosinus et sinus de a, et on note cos a et sin a, les

Exercice 1 : VRAI OU FAUX (0.5+1+1=2.5 points) Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. – Une réponse non démontrée ne rapporte pas de point. 1. La fonction sinus est paire. 2. Dans un repère polaire (O ; );i)), les points A(5 ; ) et B( 5 ; ) sont confondus. 3. cos( ) = cos ( ) Exercice 2 : Angles (3 points) Sur un cercle trigonométrique de centre O, les points A, B, C et D sont les images

Formules de trigonométrie circulaire Soient a, b, p, q, x, y ∈ R (tels que les fonctions soient bien définies) et n ∈ N. La parfaite connaissance des graphes des fonctions trigonométriques est nécessaire. Relations fondamentales cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Arccos(x) + Arcsin(x) = π 2 1 d − dx cotan(x) = 1 + cotan2 (x) = sin2 (x) 1 Arctan(x) + Arctan x = signe(x) × π 2 d dx tan(x) = 1 + tan2 (x) = cos1(x) 2 Arctan(x) + Arccotan(x) = π 2 x en radians 0 Arccos(−x) = π − Arccos(x) π 6 π 4 π 3

· Lieux et époque succesifs Les travaux indiens furent traduits plus tard et furent améliorés par les mathématiciens islamiques. Le mathématicien perse Muhammad ibn Mūsā al-Khuwārizmī produisit des tables des sinus et des tangentes, et apporta aussi sa contribution à la trigonométrie sphérique. Vers le Xe siècle, d'après l'œuvre d'Abu l-Wafa, il apparaît que les mathématiciens musulmans employaient chacune des six fonctions trigonométriques, et disposaient de tables à intervalles de 0,25°, avec

Formulaire de trigonométrie Définition des fonctions sinus, cosinus et tangente 1 M(x) sin(x) tan(x) cos(x) • M est un point du cercle trigonométrique. → − − −→ x est une mesure en radian de l’angle ( i , OM). cos(x) est l’abscisse de M, sin(x) est l’ordonnée de M. • Si x n’est pas de la forme 1 π + kπ, k ∈ Z, 2 sin(x) tan(x)= . cos(x) O • Pour tout réel x, cos2 (x) + sin2 (x) = 1. 1 π = 1 + tan2 (x). Si x n’est pas de la forme + kπ, k ∈ Z, 2 cos2 (x) Arcs associés Tour complet 1

février 2013 Les fonctions sinus et cosinus Table des matières 1 Rappels 1.1 Mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Signe des lignes trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions sinus et cosinus 2.1 Définition . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . . . . . . . . . 2.2.1 Parité . . . . . . . . 2.2.2 Périodicité . . . . . 2.2.3 De sinus à cosinus . . . . . . .