Singularité en analyse complexe

Math´ ematiques Fondamentales G. Chiavassa, T. Le Gouic, J. Liandrat, T. Luks, M. Roche, F. Schwander Nom de l’enseignement : Cours et TD Code enseignement : MAT-1 1`ere ann´ee 2014/2015 Chapitre 1 Analyse Complexe L’objectif de cette partie du cours est l’´etude des fonctions de variable complexe z ∈C I . Nous verrons que ces fonctions poss`edent des propri´et´es tr`es particuli`eres qui n’existaient pas pour les fonctions de la variable r´eelle. Le champ d’application de cette th´eorie est immense

´ Exercices - Residus - Application au calcul ´ d’integrales : ´nonc´ e e Exercice 1 - Calculs de r´sidus - L3/M1 e Calculer les r´sidus aux singularit´s isol´es des fonctions suivantes : e e e f (z) = z2 + z + 1 , z(z 2 + 1)2 g(z) = za , 1−z h(z) = log(z). sin 1 . z−1 On prendra la d´termination principale des fonctions z → z a et z → log(z). e Exercice 2 - Fraction rationnelle - L3/M1 +∞ dx e 1. Soit n ≥ 2 entier. Calculer I = 0 1+xn . On pourra int´grer sur le bord du compact iθ ; 0 ≤

H (U). z0 est une singularité éliminable ou articielle (2) (3) Il existe un entier m tel que g (z) = (z − z0 )m f (z) se prolonge en z0 en une fonction holomorphe sur U . On dit dans ce cas que z0 est un pôle de n f , d'ordre m, le plus petit entier n tel que (z − z0 ) f (z) se prolonge en fonction holomorphe. l'image de tout voisinage épointé de z0 est dense dans C. On dit dans ce cas que z0 est une singularité essentielle de f . D∗ , z0 n'est pas une singularité essentielle, alors

Exercices - Conditions de Cauchy-Riemann : ´nonc´ e e Exercice 1 - R-diff´rentiable - L3/M1 e Pour z = x + iy, on pose f (z) = x + iy 2 . 1. Prouver que f est R-diff´rentiable sur C. D´terminer la diff´rentielle de f . e e e 2. En quels points f est-elle C-diff´rentiable ? Existe-t-il un ouvert non vide U de C tel que e la restriction de f ` U soit holomorphe sur U ? a Exercice 2 - Fonctions holomorphes ` valeurs r´elles - L3/M1 a e Soit Ω un ouvert connexe et f une fonction holomorphe dans Ω.

frontière de Ω, c’est à dire |a − z0 | = r. Si f peut être prolonger en une fonction analytique en a, on dira qu’alors que le point a est un point régulier, f est donc bornée au voisinage de a ; sinon c’est un point singulier. 4.2.1.1 types de singularités Soit le développement de Laurent d’une fonction f au voisinage de a. f (z) = ∞ n=0 cn (z − a) + n ∞ n=1 dn . (z − a)n Trois cas se présentent alors : 1er Cas : Tous les dn sont nuls. f est donc analytique en z = a. Le développement

est traversée par une tension qui l’anime et rend nécessaire sa réalisation ainsi que sa perception (singularité de l’œuvre). Elle est une réponse à un tissu de questions. Saisir cette tension, c’est rendre intelligible les enjeux de l’œuvre par un passage du signe à la signification, ce passage occasionnant une perte : le jugement esthétique ou le jugement de goût. Finalité : définir la singularité de l’œuvre. Principe : proposer une hypothèse d’interprétation qui rende compte du plus grand nombre

Notes de Cours du module Analyse Complexe (Math 4) Par LAADJ Tou…k(2) Pour Deuxième année Licence Domaine : Sciences et Technologies Février 2014 (1) (2) USTHB : Bab Ezzouar Alger, Algérie. Page Web : http://perso.usthb.dz/~tlaadj/ Table des matières Table des matières iii Description du Cours iv 0 Les nombres complexes 1 0.1 L’ensemble des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0.1.1 Opérations sur les nombres complexes . . . . . . . . . . . . .

 SOMMAIRE I) Introduction p.2 II) III) II) Résumé de l’oeuvre p.2 III) Analyse critique de l’oeuvre p.4 I) Introduction Walter Hesbeen est infirmier et docteur en santé publique. Il a été directeur des services hospitaliers du Centre neurologique William Lennox puis professeur à l’École nationale de santé publique et responsable de l’Unité de recherche et de développement de l’École

première lecture du sujet nous serions tenter de répondre qu’il est évident que la connaissance de soi est un fait déjà acquis, puisque à première vu nous savons qui nous sommes et que la connaissance des choses n’est accessible qu’à une élite et complexe à atteindre par sa diversité. Mais il y a certains éléments de la connaissance de soi qui méritent d’être approfondis. Il est également nécessaire dans notre cas d’établir un lien entre ces deux connaissances et de se demander pourquoi elles ont

Calcul Différentiel et Analyse Complexe – Questions pour un QCM Exercice 1. En quatre versions Version 1 Considérer la fonction f : R2 → R donnée par f(x, y) = x2 + y4 − xy − 1 et l’ensemble E := {(x, y) : f(x, y) = 0}. Au voisinage du point (1, 0) peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites pour écrire l’ensemble E comme le graphe d’une fonction C1 ? — oui, pour avoir un graphe du type y = φ(x) mais pas x = φ(y) — oui, pour avoir un graphe du type x = φ(y) mais pas y = φ(x) — oui, tant