Racine carrée

[0, 2π[ donne θ = π/3 ou θ = −5π/3. L’équation sin(θ/2) = −1/2 avec θ ∈ [0, 2π[ n’a pas de solutions. L’ensemble des solutions est donc {eiπ/3 , e−iπ/3 }. Exercice 8 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup 1. Il suffit de développer les modules au carré. Précisément, on a : 1− z−a 1 − az ¯ 2 = = = = |1 − az|2 − |z − a|2 ¯ |1 − az|2 ¯ 1 − az − a¯ − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 + az + a¯ ¯ z ¯ z |1 − az|2 ¯ 1 − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 |1 − az|2 ¯ 2 )(1 − |z|2 ) (1 − |a| . |1 − az|2 ¯ 2. On commence

Opérations et puissances. 4) Racines Carrées : I- Racine carrée d'un nombre positif. 1) Définition : Soit a un nombre positif, la racine carrée de a est le nombre dont le carré est a. Ve nombre se note √ a . Exemples : 4² = 16 donc √16 = 4 √25 = 5 car 5²= 25 √0 =0 √1 =1 2) Conséquence : Quelque soit le nombre positif a √ a = a √ a² =a Exemples : (√ 2 ) ² = 8 2 √ 2 =2 2 (√-8 ) = n'existe pas 2 √(-8) = 8 II- Opérations sur les racines carrées. 1) Produit : Propriété :

l'écart-type (la racine carré de la variance, symbolisée par S) sont les mesures de dispersion les plus couramment utilisées. Nous savons que la variance est une mesure du degré de dispersion d'un ensemble de données. On la calcule en prenant la moyenne de l'écart au carré de chaque nombre par rapport à la moyenne d'un ensemble de données. Pour les nombres 1, 2 et 3, par exemple, la moyenne est 2 et la variance, 0,667. [(1 - 2)2 + (2 - 2)2 + (3 - 2)2 ] ÷ 3 = 0,667 [somme de l'écart au carré] ÷ nombre d'observations

comme la fonction carré et la fonction inverse. Ensemble de définition L'ensemble de définition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer f(x). Exemples Pour la fonction fonction, ensemble de définition, pour fonction, ensemble de définition et pour fonction, ensemble de définition. (pourquoi) Comment déterminer l'ensemble de définition Pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction: Fonction avec racine carrée Si la fonction contient

Fonctions f Fonction dérivée f' Domaine dérivabilité f(x)=k ( k * IR ) f'(x)=0 IR f(x)=x f'(x)=1 IR f(x)=racine x f'(x)=1/2 racine x ]0, +*[ f(x)= xn f'(x)=nx (n-1) IR f(x)= 1/x f'(x)= -1/(x au carré) IR* (ku)'=k x (u)' OPERATIONS FONCTIONS DERIVABLES (u+v)'=u'+v' (u x v)'= u'v+v'u (2 formules différentes a multiplier entre elles) (u/v)'=u'v-uv'/v au carré (1/v)'= - v'/v au carré 3)Calcul de l'équation de la tangente Si f est dérivable en a dans un repère, la tangente T à la courbe

2x + 3y = 8 7x = 7  2x + 3y = 8 Racines carrées La fonction "racine" est la fonction "inverse" de la fonction "carrée". Pour les calculs type brevet, IL NE FAUT PAS DONNER LA VALEUR ARRONDIE MAIS FAIRE LES CALCULS EXACTS EN GARDANT LES RACINES. Remarque : 1) La racine d’un nombre négatif n’existe pas !!! ( − 3 n’existe pas !!!) 2) Il existe 2 racines d’un nombre au carré (x² = 4 possède 2 solutions : x=2 ou x=-2 !!!) Pour simplifier l’écriture d’une racine, il faut écrire les nombres en produit

Triangle rectangle : PYTHAGORE et COSINUS 1 ) RACINE CARREE On appelle racine carrée d’un nombre positif a, le nombre positif b tel que b 2 = a . On note b = a . Ex : • 9=3 • On utilise la touche 13 ≈ 3,61 ( à 0,01 près ) de la calculatrice . 2 ) THEOREME DE PYTHAGORE Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés . B Donc BC 2 = AB 2 + AC 2 ABC est rectangle en A . A C Rem : L’hypoténuse est le plus long côté d’un triangle rectangle

Prenons l’exemple simple de la fonction carré et du tableau : x 0 0,5 1 2 5 10 x2 ̈ Avec un tableur On remplit 6 cellules d’une ligne (ou d’une colonne) par les valeurs de x. On calcule le carré de 0 (en utilisant le nom de la cellule qui contient 0) dans la première cellule de la ligne (ou la colonne) suivante, puis on recopie pour obtenir les autres carrés. ̈ Avec une calculatrice TI On rentre la fonction carré dans Y1. Dans TBLSET ( ou def table), on sélectionne

sont les nombres à virgule = partie décimale finie) Les rationnels sont les nombres s’écrivant sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul Les irrationnels sont les nombres ne s’écrivant pas sous la forme d’une fraction (ex :  , ou racine de 2 … ) Algorithme des différences : Le plus grand diviseur commun est la dernière différence non nulle de l’algorithme. Algorithme d’Euclide : Le plus grand diviseur commun est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives. On

Exercice 2 On considère un carré ABCD de côté 10cm Sur le côté [AB] on place un point L On pose AL = x (en cm) et on place [DA] un point P tel que DP = x cm On construit alors le triangle LCP Le but est de déterminer s'il existe un triangle LCP d'aire minimale et si oui lequel On appelle f la fonction qui à tout x de [0;10]associe l'aire du triangle LCP 1-a) Exprimer en fonction de x les longueurs de segments AL , Bl , DP puis AP b) Exprimer en fonction de x les aires des triangles ALP