Racine carrée de trois

degré 1 Forme canonique . . . . . . . . . . 2 Racines du trinôme . . . . . . . . . 3 Factorisation, somme et produit des 4 Signe du trinôme . . . . . . . . . . 5 Variation et représentation . . . . . 2 Généralité sur les fonctions 1 Parité d’une fonction . . . . . 2 Variation d’une fonction . . . 3 Résolution graphique . . . . . 4 Fonctions de référence . . . . 5 Sens de variation des fonctions . . . . . . . . . . racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i| est la longueur BM , et la condition recherchée est AM = BM , c’est-à-dire M est sur la médiatrice de [AB], soit encore M sur l’axe réel, soit z réel. Exercice 6 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup 1. Il suffit de développer les modules au carré. Précisément, on a : 1− z−a 1 − az ¯ 2 = = = = |1 − az|2 − |z − a|2 ¯ |1 − az|2 ¯ 1 − az − a¯ − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 + az + a¯ ¯ z ¯ z 2 |1 − az| ¯ 2 |z|2 − |z|2 − |a|2 1 − |a| |1 − az|2 ¯ 2 )(1 − |z|2 ) (1 − |a| . |1 − az|2 ¯ 2 http://www

. I.2 Fonctions affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Fonction carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Fonction inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Fonction racine carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . II.3 Ranger les racines carrées de deux nombres positifs . . II.4 Position relative des courbes d’équations y =

[0, 2π[ donne θ = π/3 ou θ = −5π/3. L’équation sin(θ/2) = −1/2 avec θ ∈ [0, 2π[ n’a pas de solutions. L’ensemble des solutions est donc {eiπ/3 , e−iπ/3 }. Exercice 8 - Automorphisme du disque - L1/Math Sup 1. Il suffit de développer les modules au carré. Précisément, on a : 1− z−a 1 − az ¯ 2 = = = = |1 − az|2 − |z − a|2 ¯ |1 − az|2 ¯ 1 − az − a¯ − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 + az + a¯ ¯ z ¯ z |1 − az|2 ¯ 1 − |a|2 |z|2 − |z|2 − |a|2 |1 − az|2 ¯ 2 )(1 − |z|2 ) (1 − |a| . |1 − az|2 ¯ 2. On commence

< bc car c > 0. De plus, si c < d, alors bc < bd car d > 0. On en déduit : ac < bd. c) Encadrement Soient a, b et x trois nombres réels. On dit que a et b encadrent x lorsque a ≤ x ≤ b. Exercice : x est un réel tel que –1 < x < 2. On pose B = -2x – 3. Trouver un encadrement de B. II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses a) Passage au carré, à la racine carrée Propriété : a et b étant deux nombres positifs distincts, a < b équivaut à a² < b². démonstration : On sait que a² –

Centaines Tableaux des unités Pour convertir, il faut décaler la virgule de 1 en 1 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. kilo 1000 Les préfixes hecto déca 100 10 déci 1 10 dm centi 1 100 cm milli 1 1000 mm tonne t Unités d’ aires : le mètre carré ( m2 ) . Pour convertir, il faut décaler la virgule de 2 en 2 en ajoutant des zéros si c’est nécessaire. km2 hm2 ha 0 0 1 dm 2 = 100 cm 2 l’ are (a) et l’ hectare ( ha) 1 km 2 = 100 hm 2 1 a = 1 dam 2 Unités de volumes: le mètre cube (m 3 ). Pour

possible de calculer son carré, d'y ajouter trois fois ce nombre puis de soustraire 5. On dit que f est définie sur , c'est-à-dire qu'elle "fonctionne" avec n'importe quel réel, ou plus scientifiquement, que l'image de chaque réel par f est définie, existe. On dit aussi que ledomaine de définition de f est  : Malheureusement, toutes les fonctions ne sont pas aussi simples que celle-ci. Considérons maintenant une autre fonction relativement connue : La fonction racine carrée n'est définie que pour

X . k! Pour tout polynôme P et tout entier naturel k, le coefficient de Xk dans P est ak = P(k) (0) . k! 2) Racines d’un polynôme Ordre de multiplicité d’une racine. (Pour a ∈ K et k ∈ N) a est racine de P d’ordre k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q et Q(a) = 0 (si et seulement si P est divisible par (X − a)k et pas par (X − a)k+1 ). a est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si il existe un polynôme Q tel que P = (X − a)k Q (si et seulement si P est

Prototype : int plus_petit_diviseur_premier (int n) ; 8 Racine carrée entière (**) Écrire une fonction qui calcule la racine carrée entière d’un nombre entier positif par soustractions successives des nombres impairs. p p+1 √ Principe : Si (2i − 1) ≤ n < (2i − 1), alors p ≤ n < p + 1 i=1 i=1 Exemple : racine de 43 43 − 1 = 42, 42 − 3 = 39, 39 − 5 = 34, 34 − 7 = 27, 27 − 9 = 18, 18 − 11 = 7 6 soustractions en tout, donc la racine entière de 43 est 6 Prototype : int racine_entiere(int n) ;

représenter comme un rapport de deux nombres entiers. Ceci entraine donc que son écriture décimale n’est ni finie, ni périodique. C’est un nombre transcendant, ce qui signifie qu’il n’existe pas de polynôme non-nul à coefficient entier dont est la racine. 2) Le plus petit ensemble de nombres qui contient est l’ensemble des Réels. () 3) n’est pas un nombre algébrique. Un nombre algébrique est un nombre qui est la solution d’une équation algébrique à différents entiers. 4) On