Quadrique

de r´duction d’endomorphismes et de matrices en e base orthonormale. Recherche d’une ´quation r´duite d’une conique d´finie par e e e une ´quation cart´sienne dans un rep`re orthonormal ; e e e exemples d’une telle recherche pour une quadrique. Description des quadriques usuelles (en dimension 3) d´finies par une ´quation cart´sienne r´duite en rep`re e e e e e orthonormal : ellipso¨ ıdes, hyperbolo¨ ıdes (` une nappe et ` a a deux nappes), parabolo¨ ıdes (elliptiques et hyperboliques), cˆnes, cylindres

planes 1re année 246 Isométries du plan et de l’espace 1re année 79 233 Généralités sur les surfaces 2e année 248 250 253 255 Similitudes directes du plan 1re année 80 236 Surfaces usuelles 2e année 81 Index Quadriques 2e année VIII Partie 1 Analyse dans 1 1re année Nombres réels 1. 1.1 Premières propriétés Corps ordonné On dit que l'ensemble R des nombres réels est • un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec

-----------------1 1 2 2 3 3 * Indique un groupe barycentrique -12,0 -8,0 © Revue MODULAD, 2004 97 On peut vérifier que les cloisons obtenues avec des fonctions quadratiques ne sont plus des hyperplans comme avec les fonctions linéaires mais des quadriques (surface algébrique de degré 2), en témoigne leurs projections dans le plan des deux premières fonctions discriminantes qui sont des courbes coniques et non plus des droites : Figure 12 : carte des régions d’affectation obtenues à partir du plan

aucune. A ce propos, convenons d’appeler ”coniques” de telles courbes d´finies par e des polynˆmes ` deux variables du second degr´ au plus (ellipses, paraboles, o a e hyperboles...). Lorsqu’on a trois variables, on remplace le terme ”conique” par ”quadrique” (ellipso¨ ıdes de deux sortes, parabolo¨ ıdes, hyperbolo¨ ıdes de deux sortes, parabolo¨ hyperbolique...). Dans ce cours, nous utiliserons, par abus ıde de langage, le terme ”coniques” dans tous les cas. 6.4 Formes canoniques Nous conviendrons

∈ Mn,1 (R). XS X X 2 ker(S − λi In−1 . Montrer que Y SY Y 2 . En d´duire que λk e µk . c. Montrer que λ1 µ1 λ2 . . . µn−1 λn 3. q(x,y,z) = x2 + y 2 − z 2 . Trouver (α,β,γ) tels que l’intersection du plan αx + βy + γz = 1 et de la quadrique q(x,y,z) = 0 soit une parabole. CENTRALE 71 Soit A un sous-anneau de Q et a ∈ A, a = a. Montrer que 1 q p q avec p ∧ q = 1 ∈A 49 e b. Soit I un id´al de A. Montrer qu’il existe n ∈ N tel que I Z = nZ. En d´duire que I = nA e c. Soit

. . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Quadriques 95 Torseurs 96 Géométrie euclidienne en dimension 2 97 Géométrie euclidienne en dimension 3 98 Courbes paramétrées 99 Courbes en polaires 100Courbes définies par une condition 101Branches infinies 102Points de rebroussement 103Enveloppes 104Rectification

. . . . . . 93.2 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 310 311 312 94 Quadriques 313 95 Torseurs 316 96 Géométrie euclidienne en dimension 2 317 97 Géométrie euclidienne en dimension 3 318 98 Courbes paramétrées 321 99 Courbes en polaires 323 100Courbes définies par une condition 324 101Branches infinies 326 5

 y2 à l'aide des fonctions : Plot3D , ParametricPlot3D , ContourPlot3D ( utiliser la bibliothèque supplémentaire : Graphics`ContourPlot3D ), SurfaceOfRevolution ( utiliser la bibliothèque : Graphics`SurfaceOfRevolution`.) 2. Représenter les quadriques non dégénérées : Ellipsoïde : x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 =1 x2 a 2 Hyperboloïde à une nappe : + x a y2 b2 2 2 y b z2 c2 2 2 =1 z2 c2 Hyperboloïde à deux nappes : Cône du second degré : Cylindre elliptique :

positives (respectivement négatives), on dit que f est une forme quadratique définie positive (respectivement négative). On rencontre par exemple ces applications dans l’étude des extrema d’une fonction ou dans la classification des coniques et des quadriques. Si n = 2, l’exemple le plus simple est obtenu pour A égale à la matrice identité, d’où : f (x, y) = x2 + y 2 , Le graphe G, défini par l’équation z = x2 + y 2 , est un paraboloïde de révolution de sommet O et d’axe (Oz). Voir la figure 1.3 : ce sont

equation, équation du second degré, ~ function, fonction du second degré quadratically adv. (math.), de façon quadratique quadrature n. (math., électr.), quadrature f., ~ component, composante en quadrature quadric n. (math.), quadrique f. quadric(al) adj. (math.), quadrique quadriceps n. (anat.), quadriceps m. quadrifoliate(d) adj. (bot.), quadrifolié quadrilateral adj. (math.), quadrilatère quadrilobate adj. (bot.), quadrilobé quadrinomial adj. (math.), quadrinomial quadriplegic n. (path.), tétraplégique