Produit vectoriel

paire ? impaire ? c) Calculer Pn (1) et Pn (−1). 2. Soit n 1. Montrer que pour tout m ∈ N tel que 0 1 m n − 1, Pn (x) xm dx = 0 . −1 103 3. On désigne par E l’espace préhilbertien réel des fonctions continues sur [−1, 1] muni du produit scalaire 1 (u | v) = −1 u(x)v(x) dx , pour u, v ∈ E. a) La famille (Pn )n∈N est-elle une famille orthogonale dans E ? b) Calculer (Pn | Pn ) pour chaque n ∈ N. dPn d (x2 − 1) (x) est orthogonal à xm pour tout m ∈ N 4.a) Soit n 1. Montrer

d'autres professionnels encore. Ce cours vous apprendra les principes de base du programme et de la retouche d'images. Nous vous présenterons les concepts, les méthodes et les fonctions de base de Photoshop, tels que : Images bitmap et images vectorielles Zone de travail de Photoshop et son fonctionnement de base Présentation des sélections pour la retouche d'images Présentation des calques Présentation des couleurs Principes de base de la résolution et de la taille des images Ce cours se

non linéaires 68 1re année et 2e année Suites numériques 1re année 34 37 23 Séries numériques 2e année 70 Suites particulières 1re année V Table des matières Partie 2 – Analyse dans Rn 24 25 26 27 28 29 30 Espaces vectoriels normés 76 2e année 31 32 33 34 35 36 Intégrales curvilignes 2e année 98 102 104 107 112 Continuité 2e année 80 83 Suites de fonctions 2e année Ensembles particuliers 2e année Séries de fonctions 2e année Calcul différentiel

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 10 12 21 22 23 C Espaces vectoriels I Définitions et premiers exemples . . . . . . . . II Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . III Dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Sommes directes et espaces supplémentaires V Exercices . . . . . . . . . . . .

géométrique qui peut être un point (centre), une droite (axe) ou un plan. Bien que l’opération soit toujours liée logiquement à l’élément, il convient de ne pas confondre ces deux notions. Le symbole mathématique de l’opération est l’opérateur. Le produit Ô de deux (ou plusieurs) opérations Ô1 et Ô2 est l’opération résultant de l’exécution successive de ces opérations ; symboliquement Ô = Ô1.Ô2 signifie qu’on a transformé un objet selon Ô2 puis que le résultat obtenu est à son tour transformé selon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Espaces vectoriels, applications linéaires et matrices 3.1 Espaces et sous espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Somme et somme directe de plusieurs sous espaces 3.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Calculer le degré, le coefficient dominant et le terme constant de Pn . 13. On considère la fonction g telle que g ( x ) = x 2 f ( x ) . Démontrer que g (n +1) = f (n ) 14. Rappeler la formule de Leibniz relative à la dérivée n-ième d’un produit de fonctions en indiquant les hypothèses. 15. En utilisant la formule de Leibniz pour calculer g (n ) ( x ) , démontrer que : (2) Pn +1 ( x ) = (1 − 2 (n + 1) x ) Pn ( x ) − n (n + 1) x 2Pn −1 ( x ) . CONCOURS COMMUN SUP 2007 DES ÉCOLES DES

. . . . 3.5.8 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.9 Réserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Algèbre linéaire, vecteur et matrices 4.1 Déterminants et systèmes d’équations 4.2 Opérations sur les matrices . . . . . . 4.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 4.3.1 Orthogonalité . . . . . . . . . 4.4 Valeurs propres et vecteurs propres . 4.5 Triangularisation . . . . . . . . . . . 4.6 Formes quadratiques . . . . . . . . . 4.6.1 Réserve . . . . . . . . . . . . 5 Interrogation de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 26 27 29 30 30 30 30 31 31 32 34 34 34 36 37 39 40 41 42 44 4 Algèbre linéaire, vecteur et matrices 4.1 Déterminants et systèmes d’équations 4.2 Opérations sur les matrices . . . . . . 4.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 4.3.1 Orthogonalité . . . . . . . . . 4.4 Valeurs propres et vecteurs propres . 4.5 Triangularisation . . . . . . . . . . . 4.6 Formes quadratiques . . . . . . . . . 4.6.1 Réserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3.6 Angles de droites 2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace 2.4 Espaces affines euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines du plan 2.4.3 Isométries