On Considère La Fonction F Définie Sur R Par F X X² E X 1 X² 2

Berlin, Germany e-mail : aigner@math.fu-berlin.de Günter M. Ziegler Technische Universität Berlin Fachbereich Mathematik, MA 6-2 Straße des 17. Juni 136 10623 Berlin, Germany e-mail : ziegler@math.tuu-berlin.de Traduction de la troisième édition anglaise de : Proofs from THE BOOK by Martin Aigner, Günter M. Ziegler ISBN : 3-540-40460-0 Copyright © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998, 2001, 2004 ISBN-10 : 2-287-33845-4 Springer Paris Berlin Heidelberg New York ISBN-13 : 978-2-287-33845-8

EXERCICE 1 (5 points ) (Commun à tous les candidats) → − − → Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal O, i , j . 1. Étude d’une fonction f . On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : f (x) = ln x . x On note f la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle ]0; +∞[. → − − → On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le repère O, i , j . La courbe Cf est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). a. Déterminer les limites de la fonction f en

: EXERCICE 1 : Exprimer chacun des trinômes ax2 + bx + c suivants sous sa forme canonique a(x − m)2 + n : x2 − 4x + 7 x2 − 2x − 6 x2 + 3x + 2 2x2 − 20x + 59 3x2 + 4x + 7 EXERCICE 2 : Factoriser chacun des trinômes suivants : x2 + 6x + 9 x2 + x − 2 2x2 − 10x + 12 3x2 + 13x + 4 EXERCICE 3 : Étudier le signe sur R des fonctions suivantes : f1 (x) = x2 − x − 6 f2 (x) = x2 + 2x + 8 f3 (x) = 2x2 + 4x − 6 f1 (x) = −2x2 − 5x + 3 EXERCICE 4 : Résoudre les (in)équations suivantes : x2 + x − 6 = 0 2x2 +

réels non nuls vérifiant un+1 →0 un Déterminer la limite de (un ). avec < . 1 Suites numériques Convergence d’une suite numérique Exercice 1 [ 02247 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . et Calculs de limites Exercice 9 [ 02254 ] [correction] Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes : √ √ n n a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1 3 +(−2) c) un = n ∈ N, un a et vn

: Développer et factoriser sont les deux actions de base du calcul littéral. Comment développer une expression à l’aide de la distributivité et des identités remarquables ? Comment factoriser une expression ? Tels sont les objectifs de cette fiche. 1. Développer Développer une expression, c’est transformer un produit en une somme ou en une différence. a. Utilisation de la distributivité Pour tous nombres réels k, a et b :Exemples : Développer les expressions suivantes : b. Utilisation de la double

Chapitre 2 Vibrations des systèmes mécaniques à un degré de liberté Le 9 octobre 2014 Sommaire: I. Introduction II. Vibration Libre non amorties 1. 2. 3. 4. 5. systèmes de translation systèmes de Translation suspendu systèmes de Torsion Systèmes équivalents Exemples d’applications III. Vibration amortie 1. 2. 3. 4. 5. Système sous amortis; Système amortis; Système sur amortis; décrément logarithmique Exemples d’applications IV. Mouvement vibratoire forcé 1. Excitation Harmonique 2. Excitation

Sciences industrielles - cours MPSI-PCSI 1 Lahoucine OUAKIDI Professeur Agrégé de Mécanique CPGE REDA SLAOUI AGADIR -0- OUAKIDI Sciences industrielles - cours MPSI-PCSI AVANT PROPOS Aux demandes incessantes des élèves, je décide finalement de réaliser ce document qui peut être considéré comme un livre englobant la totalité du programme de première année MPSI et PCSI. Mais un cours n’est jamais, lui seul, suffisant. La S.I. étant une matière qui fait le lien entre la théorie et la réalité

1. ÉVOLUTION DE LA SSI LA METHODE EBIOS • L’évolution de la terminologie : – sécurité informatique ; – sécurité des systèmes d’information ; – sécurité de l’information ; – système de sécurité de l’information. 1. Généralités 2. CC et autres méthodes d’évaluation 3. La méthode EBIOS 3.1 Etude du contexte • La SSI doit être considérée globalement – en tenant compte de toutes les ressources ; – en étant prise en compte au plus haut niveau hiérarchique ; – en étant prise en compte

Exercice 1. ARRANGEMENTS. Une télévision privée décide d'opter pour le système de « programmes à péage » en utilisant des décodeurs commandés par des codes à huit chiffres. a) Donner le nombre d'abonnés potentiels puis le nombre d'abonnés avec code composés de huit chiffres différents. b) Calculer le nombre de codes à 2 chiffres différents, l'un étant utilisé 1 fois et l'autre 7 fois. c) Même question avec 3 chiffres différents, dont 2 sont utilisés une fois et le troisième 6 fois. SOLUTION. 1. Nombre

81 1/2 07 G 26 A 01 Durée : 04 heures Séries : S2-S2A-S4-S5 – Coef. 5 Epreuve du 1er groupe MATHEMATIQUES Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée unique par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites. Leur utilisation sera considérée comme une fraude. Cf. Circulaire n° 5990/OB/DIR. du 12 08 1998). EXERCICE 1 (04 points) On considère dans ℂ, l’équation : z3 – (3 + 2i)z2 + (1 + 4i)z + 1 – 2i