Limite Naturalisme

1ère BT S DOM OT IQU E Limites Lundi 20 octobre 2008 Devoir surveillé n 2 ˚ EXERCICE no 1 Déterminer les limites suivantes : 1. lim x→+∞ 2. lim x→2− −3x2 + 4x + 1 3. x+3 x2 − 4 4. lim+ lim x→−∞ x→0 x2 − 5x4 + 3x − 1 x4 − x2 − 1 x2 − x + 1 + ln x 2 5. 6. lim x→+∞ ln x x3 + x x2 e lim ex + e−x + x→−∞ √ 2 − 3x EXERCICE no 2 → − Dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; − ; →), on donne la courbe représentative

majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ; donc f est born´e comme somme d’applications born´es puisque e e e e f = (f − fn ) + fn . Enfin on a dit que si ε > 0 est donn´, il existe un rang n0 tel que e 1) ∀x ∈ [0, 1], ∀p ∈ N, ∀n ≥ n0 , |fn(x) − fn+p (x)| ≤ ε Faisons encore p → +∞: par passage a la limite d’in´galit´s larges il vient pour tout x ∈ [0, 1] |f n(x)−f(x) ≤ ` e e ε ie N∞ (f − fn ) ≤ ε

n. 4 c P.Brachet - www.xm1math.net Kit de survie - Bac S 2-5 Limites de suite n→+∞ • Une suite (Un ) est dite convergente s’il existe un réel l tel que lim Un = l. • La suite est dite divergente si elle n’admet pas de limite ou si lim Un = ±∞ n→+∞ • Les théorèmes sur les opérations avec les limites de fonction restent valables pour les suites. Pour les suites définies par Un = f (n) : si f admet une limite en +∞ alors lim Un = lim f (x). n→+∞ x→+∞ (dans la pratique, on peut

L’encadrement précédent permet (en multipliant par n et en divisant par ln αn , pour n = 1) d’obtenir les deux inégalités : 2 αn n (e − αn ) et α2 n (e − αn ). On obtient donc l’encadrement fin ln αn nal : 2 αn α2 n (e − αn ) n ln αn d. Par passage à la limite on a donc lim n (e − αn ) = e2 .. n→+∞ On peut en déduite que lim αn = lim e 1 − n→+∞ n→+∞ e . n La suite (αn ) converge donc comme la suite 1 c’est-à-dire lentement. n novembre 2006 6 

un entier naturel. un+1 − un = un − Donc la suite (un ) est décroissante. d. Puisque la suite (un ) est décroissante et minorée (par 0), on en déduit que la suite (un ) est convergente. e. Notons ℓ la limite de la suite (un ). Pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ 4 et donc par passage à la limite quand n tend vers +∞, on a 0 ≤ ℓ ≤ 4. Puisque la fonction f est continue sur [0; 4] et donc en ℓ, en faisant tendre n vers +∞ dans l’égalité un+1 = f(un ), on obtient f(ℓ) = ℓ. La question 3) de la partie

G_k(x) = \frac 1 3 ax^3 + \frac 1 2 bx^2 + cx + k, où k est une constante. Ce résultat se démontre par application des règles de calcul sur les dérivées ou primitives, ou par la méthode de la quadrature de la parabole qui mêle géométrie et passage à la limite.

K ( K = R ou K = C ) , unicité de la limite ; toute suite convergente est bornées , toute suite convergente vers un réel non nul est du signe de sa limite APCR ; suite extraite : définition , sous-suite d’une suite convergente et théorème fondamental ”la suite U = u n n converge vers L SSSI toutes les sous-suites convergent vers L SSSI les deux sous-suites (u 2n ) et (u 2n+1 ) convergent vers L ” ; suites de limite nulle , théorèmes sur opérations et limites ; suites réelles divergentes vers ±∞

domaine de déf d’une fonction f(x) se lit en effectuant une projection orthogonal du graphe de f(x) sur l’axe des x. 6. Limite de fonction A. Définitions : Limite en un réel : Lim x→a f(x) =b, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images se rapproche de b Limite en l’∞ : Lim x→a f(x) =∞, quand x prend des valeurs se rapprochant de a alors les images finissent par dépasser n’importe quel nombre réel aussi grand que l’on veut 7. Asymptotes

Limites et asymptotes A Limites et infini Soit f une fonction. 1- Limite infinie en l'infini Lorsque f (x) peut être rendu supérieur à tout réel positif A pour x suffisamment grand, on dit f  x=∞ . que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ . On écrit alors xlim ∞ On définit de manière similaire : lim f  x=−∞ ( f (x) devient inférieur à – A), • x ∞ • • lim f  x=∞ ( x doit être suffisamment grand en valeur absolue mais négatif) x −∞ lim f  x=−∞ . x −∞

cours : Nombres complexes 4/4 Limites Asymptotes à une courbe Les formes indéterminées On dit qu'il y a forme indéterminée lorsqu'on ne peut pas donner de résultat général à partir des tableaux précédents. Les formes indéterminées sont de différents types et on peut dans beaucoup de cas trouver la limite en effectuant les manipulations suivantes. Opérations sur les limites Limite d'une somme Si f ou (un) a pour limite l l l +∞ -∞ Si g ou (vn) a pour limite l' +∞ -∞ +∞ -∞ -∞ -∞ pas